Erwartungswert
Der Begriff des Erwartungswerts, in der älteren deutschsprachigen Fachliteratur nicht selten auch, wenngleich mehrdeutig, als Mittelwert bezeichnet, englisch Expected value oder Mean, ist ein Grundbegriff der Stochastik. Mit ihm wird eine der elementaren Kennzahlen einer Zufallsvariablen erfasst.
Bei einer eng gefassten Definition ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen eine reelle oder komplexe Zahl und damit endlich; bei einer erweiterten Definition sind für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen auch die „Werte“ zugelassen. Zudem gibt es Zufallsvariablen, für die kein Erwartungswert sinnvoll definierbar ist.
Der Erwartungswert beschreibt für eine Zufallsvariable mit endlich vielen Funktionswerten das mit der Wahrscheinlichkeit des Auftretens gewichtete arithmetische Mittel all dieser Werte. Bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments ergibt sich der Erwartungswert als Durchschnittswert der Ergebnisse. Der Erwartungswert selbst muss jedoch nicht einer der möglichen Werte sein. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt, in welcher Form die Durchschnitte der Ergebnisse bei wachsender Anzahl der Experimente gegen den endlichen Erwartungswert streben, oder anders gesagt, wie die Stichprobenmittelwerte bei wachsendem Stichprobenumfang gegen den Erwartungswert konvergieren.
Ein endlicher Erwartungswert bestimmt die Lokalisation (Lage) der Verteilung der Zufallsvariablen; er ist vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik, jedoch mit einem wichtigen Unterschied: Der Erwartungswert ist der „wahre“ Mittelwert einer Zufallsvariablen (der Mittelwert der Grundgesamtheit), während sich das empirische arithmetische Mittel in der Regel nur auf eine Stichprobe von Werten bezieht (Stichprobenmittel). Eine geänderte Stichprobe wird einen anderen arithmetischen Mittelwert liefern, der Erwartungswert – der auf allen möglichen Werten der Zufallsvariablen beruht – bleibt hingegen immer gleich.
Weil der Erwartungswert einer Zufallsvariablen nur von deren Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängt, wird auch vom Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gesprochen, ohne Bezug auf eine Zufallsvariable. Der endliche Erwartungswert einer Zufallsvariablen kann als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse betrachtet werden und wird daher als ihr erstes Moment bezeichnet.