Erzeugende Funktion

In der Mathematik versteht man unter der (gewöhnlichen) erzeugenden Funktion einer Folge ${\displaystyle (a_{n})}$ die formale Potenzreihe

${\displaystyle A(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$.

Sie findet Verwendung in der Kombinatorik, Analysis, Algebra, Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie und in der Diskreten Mathematik.

Zum Beispiel ist die erzeugende Funktion der unendlichen konstanten Folge ${\displaystyle (1,\,1,\,1,\,\ldots )}$ die geometrische Reihe

${\displaystyle A(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}=1\cdot z^{0}+1\cdot z^{1}+1\cdot z^{2}+\ldots \,.}$

Die Reihe konvergiert für alle ${\displaystyle |z|<1}$ und gegen den Wert

${\displaystyle A(z)={\frac {1}{1-z}}\,.}$

Wegen der Verwendung formaler Potenzreihen spielen allerdings im Allgemeinen Konvergenzfragen keine Rolle – ${\displaystyle z}$ ist lediglich ein Symbol. Diese explizitere Darstellung als Potenzreihe ermöglicht oft Rückschlüsse auf die Folge.