Euler-Mascheroni-Konstante

${\displaystyle \gamma }$

Die Euler-Mascheroni-Konstante (nach den Mathematikern Leonhard Euler und Lorenzo Mascheroni), manchmal lediglich auch Eulersche Konstante genannt, ist eine wichtige mathematische Konstante, die nicht zuletzt in den mathematischen Gebieten Zahlentheorie und Analysis in Erscheinung tritt. Sie wird heutzutage mit dem griechischen Buchstaben ${\displaystyle \gamma }$ (Gamma) bezeichnet.

Die Konstante ist als der folgende Grenzwert definiert:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)}$,

wobei ${\displaystyle H_{n}}$ für die ${\displaystyle n}$-te harmonische Zahl steht und ${\displaystyle \ln }$ den natürlichen Logarithmus bezeichnet.

Damit verbunden ist die Darstellung der euler-mascheronischen Konstanten in der Form

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,\mathrm {d} x,}$

wobei ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ die Abrundungsfunktion ist.

Die ersten 100 dezimalen Nachkommastellen lauten (siehe: Folge A001620 in OEIS)

${\displaystyle \gamma =0{,}57721\,56649\,01532\,86060\,65120\,90082\,40243\,10421\,59335\,93992\,35988\,05767\,23488\,48677\,26777\,66467\,09369\,47063\,29174\,67495\,\ldots }$

Heute (Stand vom 7. September 2023) sind 1.337.000.000.000 dezimale Nachkommastellen bekannt.

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