Faltung (Mathematik)

Die Faltung, auch Konvolution (von lateinisch convolvere „zusammenrollen“), beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Analysis einen Operator, der für zwei Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ eine dritte Funktion ${\displaystyle f\ast g}$ liefert.

Eine anschauliche Deutung der eindimensionalen Faltung ist die Gewichtung einer von der Zeit abhängigen Funktion mit einer anderen. Der Funktionswert der Gewichtsfunktion ${\displaystyle f}$ an einer Stelle ${\displaystyle \tau }$ gibt an, wie stark der um ${\displaystyle \tau }$ zurückliegende Wert der gewichteten Funktion, also ${\displaystyle g(t-\tau )}$, in den Wert der Ergebnisfunktion zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ eingeht. Die resultierende Überlagerung kann zum Beispiel verwendet werden, um einen gleitenden Durchschnitt zu bilden.

Die Faltung ist ein geeignetes Modell zur Beschreibung zahlreicher physikalischer Vorgänge. Die Kreuzkorrelationsfunktion ist identisch mit der komplex konjugierten Faltung ${\displaystyle {\overline {f(-\tau )}}}$. Insbesondere im Fachgebiet Maschinelles Lernen, in dem man mit Convolutional Neural Networks arbeitet, wird aufgrund dieser Identität meistens die Kreuzkorrelation verwendet, diese aber als Faltung bezeichnet, weil sie leichter zu implementieren ist.

1. ↑ Adrian Hirn, Christian Weiß: Analysis – Grundlagen und Exkurse: Mehrdimensionale Integralrechnung und ihre Anwendungen. Springer-Verlag, 2018, ISBN 978-3-662-55536-1, S. 129 (google.de [abgerufen am 27. März 2026]). 
2. ↑ Ian Goodfellow, Yoshua Bengio und Aaron Courville: Deep Learning. Hrsg.: MIT Press. S. 329 (deeplearningbook.org).