Freudenthalscher Einhängungssatz

Der Freudenthal’sche Einhängungssatz ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie, er bildet eine Grundlage für die stabile Homotopietheorie.

Die Aussage ist die folgende:

Sei ${\displaystyle n\geq 0}$ und ${\displaystyle X}$ ein ${\displaystyle n}$-zusammenhängender CW-Komplex. Dann ist die von der Einhängung induzierte Abbildung

${\displaystyle \pi _{r}(X)\to \pi _{r+1}(\Sigma X)}$

für ${\displaystyle 1\leq r\leq 2n}$ ein Isomorphismus und für ${\displaystyle r=2n+1}$ surjektiv.

Für die stabilen Homotopiegruppen ${\displaystyle \pi _{*}^{s}(X)}$ folgt daraus, dass

${\displaystyle \pi _{r}(X)\to \pi _{r}^{s}(X)}$

für ${\displaystyle 1\leq r\leq 2n}$ ein Isomorphismus und für ${\displaystyle r=2n+1}$ surjektiv ist.

Verallgemeinerung: Sei ${\displaystyle n\geq 0}$ und ${\displaystyle X}$ ein ${\displaystyle n}$-zusammenhängender CW-Komplex. Sei ${\displaystyle Y}$ ein endlicher CW-Komplex mit ${\displaystyle H^{q}(Y)=0}$ für ${\displaystyle q>2n}$. Dann ist

${\displaystyle \left[Y,X\right]\to \left[\Sigma ^{k}Y,\Sigma ^{k}X\right]}$

für alle ${\displaystyle k\geq 0}$ eine Bijektion zwischen den Mengen der Homotopieklassen.

1. ↑ Milnor, John; Spanier, Edwin: Two remarks on fiber homotopy type. Pacific J. Math. 10 1960 585–590.