Frobenius-Methode

Die Frobenius-Methode, nach Ferdinand Georg Frobenius (1849–1917), ist eine Methode um Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${\displaystyle u''+p(z)u'+q(z)u=0}$

zu finden, wobei ${\displaystyle (z-z_{0})p(z)}$ und ${\displaystyle (z-z_{0})^{2}q(z)}$ als analytisch in einer Umgebung von ${\displaystyle z=z_{0}}$ vorausgesetzt werden. Die Idee ist es Lösungen in der Form einer verallgemeinerten Potenzreihe

${\displaystyle u(z)=(z-z_{0})^{\alpha }\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(z-z_{0})^{n}}$

anzusetzen und die unbekannten Koeffizienten ${\displaystyle \alpha ,u_{n}}$ durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen. Der zentrale Satz wurde zuerst von Lazarus Immanuel Fuchs basierend auf Arbeiten von Karl Weierstraß bewiesen und danach von Frobenius verallgemeinert.

1. ↑ L. Fuchs: Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 66 (1866) S. 121.
2. ↑ G. Frobenius: Ueber die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 76 (1873), S. 214.