Fundierungsaxiom

Das Fundierungsaxiom (auch: Regularitätsaxiom) ist ein Axiom der Mengenlehre von John von Neumann von 1925, die in der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre (NBG) aufging, und ein Axiom der verbreiteten Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) von 1930. Ernst Zermelo gab ihm den Namen und eine einfache Formulierung für einen Bereich von Mengen und Urelementen mit folgendem Wortlaut:

Jeder nichtleere Teilbereich ${\displaystyle \,T}$ enthält wenigstens ein Element ${\displaystyle \,t_{0}}$, das kein Element ${\displaystyle \,t}$ in ${\displaystyle \,T}$ hat.

Formalisiert lautet das Fundierungsaxiom für den Bereich ${\displaystyle \,{B}}$ im Sinne der Klasse aller Mengen und Urelemente (Allklasse):

${\displaystyle \emptyset \neq T\subseteq {B}\implies \exists t_{0}\in T:\lnot \exists t\in T:t\in t_{0}}$

In der reinen Mengenlehre, in der alle Variablen Mengen bezeichnen, gibt es kürzere Formulierungen des Fundierungsaxioms, bei denen ${\displaystyle \,{B}}$ aus der Formel eliminiert wird, zum Beispiel folgende Fassung:

${\displaystyle \forall T:(T\neq \emptyset \implies \exists x\in T:(x\cap T)=\emptyset )}$

Das hier existierende Element ${\displaystyle x\in T}$ nennt man auch ∈-minimales Element von ${\displaystyle T}$, da es kein Element ${\displaystyle y\in x}$ mit ${\displaystyle y\in T}$ gibt. Das Fundierungsaxiom sichert also die Existenz eines ∈-minimalen Elements jeder nichtleeren Menge.

1. ↑ John von Neumann: Eine Axiomatisierung der Mengenlehre. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Bd. 154, 1925, S. 219–240, dort § 5 VI.4., S. 239, Göttinger Digitalisierungszentrum.
2. ↑ Ernst Zermelo: Über Grenzzahlen und Mengenbereiche. In: Fundamenta Mathematicae. Bd. 16, 1930, S. 29–47, dort S. 31, Digitalisat (PDF; 1,5 MB).
3. ↑ Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17271-1, S. 261.