Gâteaux-Differential

Das Gâteaux-Differential, benannt nach René Gâteaux (1889–1914), stellt eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Differentiationsbegriffes dar, indem es die Richtungsableitung auch in unendlichdimensionalen Räumen definiert. Gewöhnlich hat man für eine Funktion ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {R} ,\ G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ offene Menge, die an der Stelle ${\displaystyle x_{0}\in G}$ differenzierbar ist, als Definition der partiellen Ableitung

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0,1},x_{0,2},\ldots ,x_{0,i}+h,\ldots ,x_{0,n})-f(x_{0})}{h}},\ \ (i={1,2,...,n})}$.

Insbesondere ergibt sich für ${\displaystyle n=1}$ das bekannte Differential

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$.

Das Gâteaux-Differential verallgemeinert diese Konzepte auf unendlichdimensionale Vektorräume.