Ordnungsrelation

Ordnungsrelationen sind in der Mathematik Verallgemeinerungen der „kleiner-gleich“-Beziehung. Sie erlauben es, Elemente einer Menge miteinander zu vergleichen.

Eine Ordnungsrelation ist formal eine zweistellige Relation

${\displaystyle R\subseteq M\times M}$

auf einer Menge ${\displaystyle M}$ mit bestimmten unten aufgeführten Eigenschaften, worunter immer die Transitivität ist. Die Menge ${\displaystyle M}$ wird bei manchen Autoren auch als Trägermenge bezeichnet.

Ist auf einer Trägermenge ${\displaystyle M}$ eine solche Ordnungsrelation ${\displaystyle R}$ gegeben, so ist das Paar ${\displaystyle (M,R)}$ eine geordnete Menge. Meist wird für ${\displaystyle (a,b)\in R}$ die sogenannte Infix-Notation ${\displaystyle a\,R\,b}$ verwendet. Außerdem wird für Ordnungsrelationen nur selten ein Symbol wie ${\displaystyle R}$ verwendet. Stattdessen werden häufig Symbole wie ${\displaystyle \leq }$, ${\displaystyle \preceq }$ oder ähnliche verwendet. Die Schreibweisen ${\displaystyle a<b}$ und ${\displaystyle a\prec b}$ stehen als Abkürzung für „${\displaystyle a\leq b}$ und ${\displaystyle a\neq b}$“ bzw. „${\displaystyle a\preceq b}$ und ${\displaystyle a\neq b}$“.

Es folgt eine Auflistung verschiedener Arten von Ordnungsrelationen mit Beispielen. Für Definitionen der Eigenschaften siehe transitiv, reflexiv und irreflexiv, asymmetrisch, antisymmetrisch, oder den Artikel Relation (Mathematik).