Hexagonale Kreispackung
Die hexagonale Kreispackung der zweidimensionalen Ebene ist eine Ansammlung nicht überlappender, in der Ebene liegender Kreise, die sämtlich genau sechs (altgriechisch ἕξ hex) andere Kreise berühren. Verbindet man die Mittelpunkte dieser sechs Kreise, ergibt sich ein Sechseck (Hexagon).
Das Bild rechts zeigt eine hexagonale Kreispackung, die bei den Blütenkörbchen der Echten Kamille und Magerwiesen-Margerite beobachtet wurde. Die äußeren Teile wachsen schneller als die inneren Teile, mit der Tendenz, die Verzweigungen zu den Einzelblüten auf der gestauchten Sprossachse um den Pol zu drehen. In hexagonalen Kreispackungen liegen die Mittelpunkte aller Kreise auf Kreisen, Geraden oder Spiralen, von denen im Bild eine hervorgehoben ist. Die Radien der auf den Spiralen aufeinander folgenden Kreise stehen immer im selben Verhältnis zueinander. Weil Peter Doyle vermutlich der Erste war, der diese Spiralen konstruierte, werden sie Doyle-Spiralen genannt.
- Hexagonale Kreispackungen
- A: (4,7)
- B: (9,15)
- C: (3,6)
- D: (5,5)
Hexagonale Kreispackungen werden bis auf Ähnlichkeit durch zwei Parameter p und q eindeutig bestimmt, die bei den Bildern in Klammern angegeben sind. Nach Drehungen mit dem p-ten Teil einer Volldrehung gehen die in den Bildern blau gezeichneten Spiralen ineinander über. Entsprechendes gilt für q und die roten Spiralen sowie für (q−p) und die gelb-grünen Spiralen. Teilerfremde p und q führen zu unsymmetrischen Packungen (A). Wenn p und q nicht teilerfremd sind, entsteht eine drehsymmetrische Packung (B,C), und wenn q=2p, entarteten einige Spiralen zu Geraden (C). Bei gleichem p und q, wie im Bild D, werden einige Spiralen zu Kreisen.
Eine Gruppe von sieben Kreisen, von denen sechs einen siebten zentralen umgeben, werden Blüten genannt, und die sechs äußeren Kreise bilden ihre Blätter. In jedem Kreismittelpunkt einer unsymmetrischen Packung treffen sich drei Spiralen, auf denen die Verhältnisse der Radien aufeinander folgender Kreise jeweils gleich sind, siehe #Eigenschaften der Blüten. Wenn die Verhältnisse der Radien auf zwei der Spiralen a bzw. b sind, dann nehmen die Radien auf der dritten Spirale im Verhältnis a/b oder a·b zu. Damit das möglich ist, müssen die Kreismittelpunkte der Blätter einer Blüte auf einem kartesischen Oval liegen, siehe das Bild in #Berechnung der Packung. Die Kreise auf sich nicht schneidenden Spiralen folgen lückenlos und überschneidungsfrei aufeinander, wenn ap=bq ist, woraus die Zahlen a und b bestimmt werden können, siehe #Eigenschaften der Spiralen. Allerdings sind nur in wenigen Fällen exakte Werte bekannt, siehe #Berechnung der Packung, weswegen im Allgemeinen die Zahlen a und b numerisch ermittelt werden müssen.