Homologietheorie
Unter Homologie (altgriechisch ὁμός homos, „ähnlich, gleich“, und λόγος logos, hier: „Verhältnis, Analogie, Proportion“) versteht man in der algebraischen Topologie eine Folge von Abelschen Gruppen, den Homologiegruppen, die topologischen Räumen zugeordnet werden. Homologie ist nützlich, denn sie erlaubt, das „Loch“ eines Torus mathematisch zu formalisieren. Sie gibt ferner Aufschluss über wichtige Merkmale eines topologischen Raumes (wie Zusammenhang oder Orientierbarkeit) und hat eine Reihe weiterer wünschenswerter Eigenschaften (wie die Künneth-Formel). Sie ist eine topologische Invariante, das heißt, sie erlaubt, manche topologische Räume voneinander zu unterscheiden.
Es gibt verschiedene Homologietheorien (z. B. simpliziale, singuläre oder zelluläre Homologie) zur Berechnung der Homologie, die jedoch alle die gleichen Homologiegruppen liefern. Somit ergibt es Sinn, von der Homologie eines Raumes zu sprechen.
In der modernen Mathematik wird Homologie analog auch mathematischen Objekten zugewiesen, die keine topologischen Räume sind. Allen Homologietheorien ist gemein, dass eine Folge von Kettenkomplexen konstruiert wird, die durch eine Folge von Abbildungen verknüpft sind. Aus den Abbildungen errechnen sich anschließend die Homologiegruppen.
- ↑ Wilhelm Pape: Handwörterbuch der griechischen Sprache. Braunschweig 31914, Band 2, S. 58–61. Stichwort λόγος, Bedeutung C.5 (Online-Version)
- ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002, ISBN 978-0-521-79540-1.