Vollständige Induktion

Die vollständige Induktion ist eine mathematische Beweismethode, mit der eine Aussage für alle natürlichen Zahlen bewiesen wird. Da es sich um unendlich viele Zahlen handelt, kann solch ein Beweis nicht für jede Zahl einzeln erbracht werden. Er wird daher in zwei Etappen durchgeführt: als Induktionsanfang für eine kleinste Zahl (meist 1 oder 0) und als Induktionsschritt, der aus der Aussage für eine variable Zahl die entsprechende Aussage für die nächste Zahl logisch ableitet. Damit ist schon die Gültigkeit der Aussage für alle natürlichen Zahlen gezeigt.

Die Beweismethode beruht auf dem Prinzip der vollständigen Induktion (kurz: Induktionsprinzip), das entweder als Axiom gesetzt oder aus anderen Axiomen hergeleitet werden kann. Trotz ihres Namens handelt es sich bei der vollständigen Induktion um ein deduktives Verfahren.

Die vollständige Induktion lässt sich im Allgemeinen anwenden, wenn man eine Familie von Aussagen beweisen möchte, bei der jede Aussage von einer natürlichen Zahl abhängt bzw. eine „Nummer“ gegeben werden kann und es einen inhaltlichen Zusammenhang zwischen der Nummer und der Aussage gibt. Da solche Situationen über die Arithmetik hinaus in allen Gebieten der Mathematik auftreten, ist die vollständige Induktion von grundlegender Bedeutung für die gesamte Mathematik.

1. ↑ Ingrid und Joachim Hilgert: Mathematik – ein Reiseführer. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2021, ISBN 978-3-662-62598-9, S. 47.