Kepler-Gleichung

Die Kepler-Gleichung beschreibt in der Astronomie den Zusammenhang zwischen der exzentrischen Anomalie ${\displaystyle E}$ und der mittleren Anomalie ${\displaystyle M}$, die in der Gleichung die Zeit repräsentiert.

Johannes Kepler hat die Gleichung aus seinen beobachtungsbasierten keplerschen Gesetzen hergeleitet. Sie lautet für elliptischen Bahnen mit der numerischen Exzentrizität ${\displaystyle e}$

${\displaystyle E-e\sin E=M}$.

Die mittlere Anomalie ${\displaystyle M}$ ist dabei eine Winkelgröße, welche eine normalisierte Zeit repräsentiert und über die Gleichung

${\displaystyle M=2\pi {\frac {t}{T}}}$

mit der Zeit ${\displaystyle t}$ (Passage der Periapsis bei ${\displaystyle t=0}$) und der Periodendauer ${\displaystyle T}$ eines Umlaufs verknüpft ist. Die exzentrische Anomalie ${\displaystyle E}$ ist eine Zwischengröße zur Berechnung der wahren Anomalie ${\displaystyle V}$, die die Winkelkoordinate eines Himmelskörpers bezogen auf den Brennpunkt mit dem Zentralkörper und die Hauptachse der Bahnellipse ist.

Zwischen exzentrischer Anomalie ${\displaystyle E}$ und wahrer Anomalie ${\displaystyle V}$ besteht der Zusammenhang

${\displaystyle \tan {\frac {V}{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}}$.

Die geometrische Bedeutung dieser beiden Winkelkoordinaten ist in der nebenstehenden Grafik dargestellt. Dabei ist:

• ${\displaystyle P}$ die Position des Himmelskörpers auf der elliptischen Umlaufbahn mit dem Perihel in ${\displaystyle N}$ um den Zentralkörper ${\displaystyle S}$.
• ${\displaystyle V}$ die wahre Anomalie. Diese gibt den Winkel an, den der Himmelskörper ${\displaystyle P}$ aus Sicht des Zentralkörpers ${\displaystyle S}$ relativ zum Perihel ${\displaystyle N}$ einnimmt.
• ${\displaystyle E}$ die exzentrische Anomalie, von Kepler als Exzentrische bezeichnet. Sie bemisst den Winkel zwischen der Periapsislinie und der Radiuslinie des Umkreises, der die Projektion ${\displaystyle P^{'}}$ von ${\displaystyle P}$ auf den Umkreis parallel zur kleinen Ellipsenachse schneidet.

1. ↑ T. P. Wihler und H. R. Schneebeli: Von den Keplergesetzen zur Keplergleichung und zum Planetenort, 2. Geometrie der Planetenbewegung: Keplergleichung. «… benutzte Kepler eine normalisierte Zeit, die mittlere Anomalie».
2. ↑ Siegfried Wetzel: Die Zeitgleichung für Nicht-Astronomen. (Memento vom 7. April 2014 im Internet Archive) Deutsche Gesellschaft für Chronometrie, Mitteilungen Nr. 111, Herbst 2007, Anhang 3.