Knotenlinie

Knotenlinie (englisch Nodal line) heißt eine Linie, die die Punkte einer Funktion $f(x,y)$ zweier Variabler $(x,y)$ verbindet, an denen der Funktionswert verschwindet, in üblicher Formelschreibweise $f(x,y)=0$ . Knotenlinien sind von Bedeutung bei der Untersuchung der Lösungen (kontinuierlicher) Eigenwertprobleme der mathematischen Physik, insbesondere in der Akustik bei stehenden Wellen, bei Schwingungen von Scheiben, Platten und Membranen. Für ein tiefes Studium der Natur der Eigenfunktionen ist die Betrachtung der Knotenlinien und ihrer Eigenschaften von der größten Bedeutung.

Bekannt geworden sind sie in der Experimentalphysik durch die Chladnischen Klangfiguren. Gezeichnete Knotenlinien wurden erstmals von Chladni im Jahr 1787 veröffentlicht, der auch den naheliegenden Namen Knotenlinien prägte. Grafik 1 zeigt Knotenlinien in bekannter Art, wie sie Chladni experimentell ermittelt und gezeichnet hat.

Knotenlinien sind das zweidimensionale Analogon zu Knotenpunkten im eindimensionalen, die auch Schwingungsknoten genannt werden, und Knotenflächen im dreidimensionalen Fall.

↑ John Rayleigh 1877, S. 252
↑ Richard Courant, 1924, S. 248
↑ Chladni 1787
↑ Chladni 1802, S. 117
↑ Für die grafische Darstellung einer Funktion hat sich (außer in der mathematischen Physik) der Begriff Funktionsgraph eingebürgert. Für die hier dargestellten Grafiken trifft jedoch der Begriff Grafik der Funktion den Sachverhalt besser, da ja nicht die Funktion („als Ganzes“) dargestellt wird, sondern nur ihre Knotenlinien.
↑ Der Begriff Schwingungsknoten lässt sich bereits im frühen 18. Jahrhundert belegen. Chladni schrieb 1787 auf S. 2 dazu: „Die Stellen, wo die schlangenförmigen Schwingungslinien die Axe durchschneiden, werden von Sauveur, de la Hire und andern, Schwingungsknoten genennt; sie bleiben in Ruhe, während daß die übrigen Theile des klingenden Körpers sich bewegen, und man kann an einer oder mehreren solchen Stellen den Körper berühren, oder Dämpfungen anbringen, ohne daß der Klang dadurch gehemmt wird, welches aber so gleich geschieht, wenn man eine Stelle zwischen zween Schwingungsknoten berühret, oder auf andere Art dämpft.“

[1] John Rayleigh 1877, S. 252

[2] Richard Courant, 1924, S. 248

[3] Chladni 1787

[4] Chladni 1802, S. 117

[5] Für die grafische Darstellung einer Funktion hat sich (außer in der mathematischen Physik) der Begriff Funktionsgraph eingebürgert. Für die hier dargestellten Grafiken trifft jedoch der Begriff Grafik der Funktion den Sachverhalt besser, da ja nicht die Funktion („als Ganzes“) dargestellt wird, sondern nur ihre Knotenlinien.

[6] Der Begriff Schwingungsknoten lässt sich bereits im frühen 18. Jahrhundert belegen. Chladni schrieb 1787 auf S. 2 dazu: „Die Stellen, wo die schlangenförmigen Schwingungslinien die Axe durchschneiden, werden von Sauveur, de la Hire und andern, Schwingungsknoten genennt; sie bleiben in Ruhe, während daß die übrigen Theile des klingenden Körpers sich bewegen, und man kann an einer oder mehreren solchen Stellen den Körper berühren, oder Dämpfungen anbringen, ohne daß der Klang dadurch gehemmt wird, welches aber so gleich geschieht, wenn man eine Stelle zwischen zween Schwingungsknoten berühret, oder auf andere Art dämpft.“