Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem

Das Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem (kurz „KAM-Theorem“) ist ein Resultat aus der Theorie der dynamischen Systeme, das Aussagen über das Verhalten eines solchen Systems unter kleinen Störungen macht. Das Theorem löst partiell das Problem der kleinen Teiler, das in der Störungsrechnung von dynamischen Systemen, insbesondere in der Himmelsmechanik, auftaucht.

Das KAM-Theorem entsprang der Fragestellung, ob eine kleine Störung eines konservativen dynamischen Systems zu einer quasiperiodischen Bewegung führt. Der Durchbruch bei der Beantwortung dieser Frage gelang Andrei Kolmogorow in seinem Plenarvortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Amsterdam 1954 (The general theory of dynamical systems and classical mechanics). Das Resultat wurde 1962 von Jürgen Moser für sogenannte smooth twist maps und 1963 von Wladimir Arnold für hamiltonsche Systeme streng bewiesen.

↑ Proc. Int. Congress Math. Amsterdam 1954, North Holland 1957, Band 1, S. 315–333 (Russisch), englische Übersetzung in Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden: Foundations of Mechanics. Benjamin-Cummings, 1978 (2. Auflage), Appendix
↑ Kolmogorow veröffentlichte dazu auch: On the conservation of conditionally periodic motions for a small change in Hamilton's function (Russisch). In: Dokl. Akad. Nauka SSSR. Band 98, 1954, S. 525–530, englische Übersetzung Lecture notes in physics. Band 93, 1975, S. 51–56.
↑ Jürgen Moser: On invariant curves of area preserving maps of an annulus. In: Nachrichten Gött. Akad. Wiss. 1962, S. 1–20.
↑ Wladimir Arnold: Proof of a theorem by A.N. Kolmogorov on the invariance of quasi-periodic motions under small perturbations of the Hamiltonian. In: Usp. Math. Nauka. Band 18, 1963, S. 13–40 bzw. englisch Russian Mathematical Surveys. Band 18, 1963, S. 9–36.
↑ Wladimir Arnold: Small denominators and problems of stability of motion in classical and celestial mechanics. In: Russian Math. Surveys. Band 18, 1963, S. 85–191, Korrekturen in Russisch Uspekhi Mat. Nauk. Band 23, 1968, S. 216.

[1] Proc. Int. Congress Math. Amsterdam 1954, North Holland 1957, Band 1, S. 315–333 (Russisch), englische Übersetzung in Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden: Foundations of Mechanics. Benjamin-Cummings, 1978 (2. Auflage), Appendix

[2] Kolmogorow veröffentlichte dazu auch: On the conservation of conditionally periodic motions for a small change in Hamilton's function (Russisch). In: Dokl. Akad. Nauka SSSR. Band 98, 1954, S. 525–530, englische Übersetzung Lecture notes in physics. Band 93, 1975, S. 51–56.

[3] Jürgen Moser: On invariant curves of area preserving maps of an annulus. In: Nachrichten Gött. Akad. Wiss. 1962, S. 1–20.

[4] Wladimir Arnold: Proof of a theorem by A.N. Kolmogorov on the invariance of quasi-periodic motions under small perturbations of the Hamiltonian. In: Usp. Math. Nauka. Band 18, 1963, S. 13–40 bzw. englisch Russian Mathematical Surveys. Band 18, 1963, S. 9–36.

[5] Wladimir Arnold: Small denominators and problems of stability of motion in classical and celestial mechanics. In: Russian Math. Surveys. Band 18, 1963, S. 85–191, Korrekturen in Russisch Uspekhi Mat. Nauk. Band 23, 1968, S. 216.