Kompakter Raum

Kompaktheit ist ein zentraler Begriff des mathematischen Teilgebiets der Topologie. Es handelt sich um eine Eigenschaft, die einem topologischen Raum zukommt oder nicht. Sie kommt bei vielen mathematischen Untersuchungen zum Tragen – oft auch in abgeschwächter Form als Lindelöf-Eigenschaft oder Parakompaktheit. Lokalkompaktheit ist im Falle von Hausdorff-Räumen ebenfalls eine abgeschwächte Bedingung.

Ein kompakter topologischer Raum wird – je nach Kontext – einfach kompakter Raum oder auch Kompaktum genannt. Handelt es sich dabei um einen kompakten Unterraum innerhalb eines topologischen Raumes, so spricht man oft nur von einer kompakten (Teil)menge, ohne die Unterraumtopologie eigens zu erwähnen.

Wichtige Beispiele für kompakte Mengen sind abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des Euklidischen Raums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ wie etwa das Einheitsintervall ${\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} }$ oder die Polyeder oder auch die Einheitssphäre ${\displaystyle S^{n-1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$.

Einfache Beispiele für Nicht-Kompaktheit bilden die unendliche Teilmengen der Menge der natürlichen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {R} }$ (nicht beschränkt!) oder auch jedes halboffene Intervall der Form ${\displaystyle \left[a,b\right[\subset \mathbb {R} }$ (nicht abgeschlossen!).

1. ↑ Es ist hier indes Vorsicht geboten. In der englischsprachigen Fachliteratur versteht man nämlich nicht selten unter einem „compactum“ lediglich einen kompakten metrischen Raum. Vgl. etwa Eric W. Weisstein: Compactum. In: MathWorld (englisch).  !