Kontraktion (Mathematik)

Eine Kontraktion ist in der Analysis und verwandten Gebieten der Mathematik eine Abbildung einer Menge ${\displaystyle M}$ in sich selbst, die die Abstände zwischen zwei beliebigen Punkten von ${\displaystyle M}$ mindestens so stark verringert wie eine zentrische Streckung mit einem festen Streckungsfaktor ${\displaystyle \lambda <1}$, also die Menge bei mehrfacher Anwendung „in sich zusammenzieht“ (kontrahiert). Anschaulich erscheint klar, dass durch fortgesetzte Anwendung einer solchen Kontraktion die Ausgangsmenge nach und nach auf eine „beliebig kleine“ Teilmenge abgebildet wird und sich schließlich (könnte man nur unendlich oft abbilden) auf einen Punkt zusammenzieht. Dass diese intuitive Vermutung in sehr allgemeinen Fällen in einem präzisierten Sinn zutrifft, lässt sich mathematisch beweisen. Sätze, die Aussagen über die Existenz des „Grenzpunktes“ der Kontraktion, seine Berechnung oder den Näherungsfehler nach endlich vielen Schritten (Iterationen) machen, werden als Kontraktionssätze oder Fixpunktsätze bezeichnet.

1. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Differentialrechnung in einer Variablen. In: Analysis I. Birkhäuser Basel, 2006, ISBN 978-3-7643-7755-7, S. 315–378, doi:10.1007/978-3-7643-7756-4_4 (springer.com [abgerufen am 8. November 2022]).