Retraktion und Koretraktion

In der Kategorientheorie, einem Zweig der Mathematik, versteht man unter einer Retraktion einen Morphismus ${\displaystyle f}$, der ein Rechtsinverses besitzt, das heißt, zu dem es einen Morphismus ${\displaystyle g}$ gibt mit ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} }$. Der duale Begriff einer Retraktion ist der der Koretraktion (oder Schnitt), das heißt ein Morphismus, der ein Linksinverses besitzt. Das Rechtsinverse einer Retraktion ist eine Koretraktion und umgekehrt.

Ein Objekt ${\displaystyle X}$ einer Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ heißt Retrakt eines Objekts ${\displaystyle Y\in {\mathcal {C}}}$, wenn es in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ einen Morphismus ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ und eine Retraktion ${\displaystyle r\colon Y\to X}$ zu ${\displaystyle f}$, also einen Morphismus ${\displaystyle r}$ mit ${\displaystyle r\circ f=\operatorname {id} _{X}}$, gibt.

Jede Retraktion ist ein extremer und sogar regulärer Epimorphismus. Ebenso ist jede Koretraktion extremer und sogar regulärer Monomorphismus und sogar Differenzkern.

1. ↑ Dieter Pumplün: Elemente der Kategorientheorie. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1999, ISBN 3-86025-676-9, S. 64.