Lokaler Körper

Ein lokaler Körper ist in der Algebra und Zahlentheorie ein topologischer Körper, dessen zugrundeliegende Topologie lokalkompakt und nicht diskret ist. Die Topologie eines solchen Körpers lässt sich immer durch einen Betrag beschreiben. Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Typen von lokalen Körpern: Archimedische lokale Körper und nicht-archimedische lokale Körper.

Lokale Körper lassen sich vollständig klassifizieren:

• Archimedische lokale Körper sind immer isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• Nicht-archimedische lokale Körper der Charakteristik ${\displaystyle 0}$ sind immer isomorph zu einer endlichen Körpererweiterung der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ (für eine Primzahl ${\displaystyle p}$).
• Nicht-archimedische lokale Körper der Charakteristik ${\displaystyle p>0}$ sind immer isomorph zum Körper der formalen Laurent-Reihen ${\displaystyle F((t))}$, wobei ${\displaystyle F}$ ein endlicher Körper der Charakteristik ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle t}$ eine formale Variable ist.

Nicht-archimedische lokale Körper kann man äquivalent auch charakterisieren als Körper, die vollständig bezüglich einer nicht-trivialen diskreten Bewertung sind und einen endlichen Restklassenkörper besitzen. Solche lokale Körper treten in der algebraischen Zahlentheorie als Vervollständigungen von globalen Körpern auf.

1. ↑ André Weil Basic number theory, Springer-Verlag 1995; Seite 20