Mächtigkeit (Mathematik)

In der Mathematik verwendet man den aus der Mengenlehre von Georg Cantor stammenden Begriff der Mächtigkeit oder Kardinalität, um den für endliche Mengen verwendeten Begriff der „Anzahl der Elemente einer Menge“ auf unendliche Mengen zu verallgemeinern.

Für eine endliche Menge ist die Mächtigkeit gleich der Anzahl der in ihr enthaltenen Elemente. Es handelt sich also um eine natürliche Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, die Zahl ${\displaystyle 0}$ eingeschlossen.

Für unendliche Mengen benötigt man indes einen theoretischen Apparat – nämlich den im Rahmen der Mengenlehre geschaffenen – um deren Mächtigkeiten definieren zu können. Die hierzu im Folgenden gebrachten Definitionen, Notationen und Folgerungen sind aber sowohl für endliche als auch für unendliche Mengen gültig. Insbesondere wird die Mächtigkeit einer Menge ${\displaystyle A}$ in aller Regel als ${\displaystyle |A|}$ notiert.

1. ↑ Eine andere übliche Notation ist ${\displaystyle \#{A}}$ (mit vorangestelltem Rautezeichen). Mitunter findet man auch die Notationen ${\displaystyle {\text{card }}{A}}$ bzw. ${\displaystyle {\bar {\bar {A}}}}$ (mit doppeltem Überstrich).