Mermin-Wagner-Theorem

Das Mermin-Wagner-Theorem oder Mermin-Wagner-Hohenberg-Theorem ist ein Theorem der theoretischen, speziell der statistischen Physik, das sehr allgemein besagt, dass es in ein- und zweidimensionalen Systemen bei Temperaturen oberhalb des absoluten Nullpunkts für Systeme mit kontinuierlicher Symmetrie und genügend kurzreichweitigen Wechselwirkungen keine spontane Symmetriebrechung geben kann.

Es ist benannt nach N. David Mermin und Herbert Wagner, die das Theorem basierend auf der Bogoliubov-Ungleichung im Kontext des Goldstonetheorems für Ferromagnetismus, Antiferromagnetismus und für niedrigdimensionale Kristalle ableiteten. Pierre Hohenberg hat nahezu zeitgleich die gleichen Überlegungen zu Quantensystemen angestellt und gezeigt, dass es keine Suprafluidität und Supraleitung in ein und zwei Dimensionen geben sollte. Für die Quantenfeldtheorie wurde ein entsprechender Satz – die Nicht-Existenz von Goldstonebosonen in zwei Dimensionen – von Sidney Coleman bewiesen. Das Fehlen eines Symmetriebruches wird oft synonym dazu verwendet, dass es keine Ordnung im System geben darf, z. B. keinen Ferromagnetismus, Antiferromagnetismus oder keine Kristalle. Exakt muss es lauten, dass es keine (perfekt) langreichweitige Ordnung geben kann, während eine quasi-langreichweitige Ordnung nicht ausgeschlossen ist.

Anwendungsgebiet sind u. a. das XY-Modell (n-Vektor-Modell mit ${\displaystyle n=2}$-dimensionaler Spinvariable) und das Heisenberg-Modell (${\displaystyle n=3}$-dimensionale Spinvariable), das Mermin und Wagner ursprünglich in zwei Dimensionen betrachteten. Auch wenn das Mermin-Wagner-Hohenberg-Theorem einen klassischen Phasenübergang beim XY-Modell in zwei Dimensionen verhindert, können allgemein Phasenübergänge anderer Art auftreten wie bspw. der Kosterlitz-Thouless-Übergang. Dagegen liegt im Isingmodell (${\displaystyle n=1}$-dimensionale Spinvariable) keine kontinuierliche Symmetrie vor (die Spinvariable nimmt die zwei diskreten Werte ±1 an), so dass der Satz nicht anwendbar ist.

1. ↑ In der Originalarbeit von Mermin und Wagner Wechselwirkungen endlicher Reichweite entsprechend realistischen kurzreichweitigen Wechselwirkungen. Bedingung ist, dass die Wechselwirkung zwischen den magnetischen Momenten oder den Teilchen integrierbar ist, d. h. schneller als 1/r abfallen. Für das 1/r Potential in zweidimensionalen Systemen sind die übernächsten und überübernächsten Nachbarkorrelationen hinreichend stark, dass z. B. das entropische Argument nicht funktioniert.
2. ↑ Der Artikel wurde nur zwei Tage später als die Arbeit über Magnetismus eingereicht, ist aber erst ein halbes Jahr später erschienen

1. ↑ H. Wagner: Long-Wavelength Excitations and the Goldstone Theorem in Many-Particle Systems with "Broken Symmetries". In: Zeitschrift für Physik. 195. Jahrgang, 26. April 1966, S. 273–299, doi:10.1007/bf01325630 (englisch). 
2. ↑ N. D. Mermin, H. Wagner: Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models. In: Physical Review Letters. 17. Jahrgang, Nr. 22, 28. November 1966, S. 1133, doi:10.1103/PhysRevLett.17.1133 (englisch). 
3. ↑ N. D. Mermin: Crystalline Order in Two Dimensions. In: Physical Review. 176. Jahrgang, 6. Juni 1968, S. 250–254, doi:10.1103/PhysRev.176.250 (englisch). 
4. ↑ P.C. Hohenberg: Existence of Long-Range Order in One and Two Dimensions. In: Physical Review. 158. Jahrgang, 24. Oktober 1966, S. 383–386, doi:10.1103/PhysRev.158.383 (englisch). 
5. ↑ Coleman, There are no Goldstone bosons in two dimensions, Commun. Math. Phys., Band 31, 1973, S. 259