Sattelpunktsnäherung

In der Analysis wird die Sattelpunktsnäherung verwendet, um Integrale der Form

${\displaystyle I=\lim _{N\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-Nf(x)}\;\mathrm {d} x}$

näherungsweise zu berechnen. Die Methode stammt von Pierre Simon de Laplace (1774) und wird manchmal nach ihm benannt. Sie ist Teil der asymptotischen Analyse.

Falls die Funktion ${\displaystyle f(x)}$ analytisch ist und ein globales Minimum bei ${\displaystyle x_{0}}$ besitzt, so erhält man:

${\displaystyle I=\lim _{N\to \infty }e^{-Nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{Nf''(x_{0})}}}}$

mit

${\displaystyle \left.f''(x_{0})={\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\right|_{x=x_{0}}>0}$.

Die zweite Ableitung ist positiv, da hier ein Minimum vorliegt. Das Ergebnis gilt asymptotisch, das heißt für ${\displaystyle N}$ gegen Unendlich.

Dabei können auch endliche Integrationsgrenzen ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ vorliegen.

Die Verallgemeinerung der Sattelpunktnäherung in die komplexe Zahlenebene wird auch Sattelpunktmethode genannt. Aus ihr erklärt sich die Benennung nach einem Sattelpunkt.