Elliptische Modulform

Elliptische Modulformen umfassen in der Mathematik eine bestimmte Gattung von Funktionen, die eine überaus starke Form der Symmetrie besitzen, und aufgrund ihrer sehr breiten Anwendungsmöglichkeiten wie zum Beispiel in Zahlentheorie, Topologie, Darstellungstheorie, Gruppentheorie, Geometrie, Kombinatorik, Stringtheorie, Differentialgleichungen und Knotentheorie zu den bedeutendsten Objekten innerhalb der modernen Mathematik gehören. Das Wort „elliptisch“ bedeutet in diesem Kontext, dass die betreffenden Modulformen auf Modulräumen elliptischer Kurven definiert sind. Hierbei ist „Modul“ ein altmodisches Wort für „Parameter, der für ein geometrisches Objekt steht“. In der Literatur wird jedoch dieser Zusatz häufig weggelassen, wenn aus dem Kontext ersichtlich ist, um welchen Typ Modulform es sich handelt.

Elliptische Modulformen – und ihre Verallgemeinerungen – werden als Kandidaten für eine Zusammenführung einiger Teilbereiche der Mathematik und theoretischen Physik gesehen, weshalb in der Literatur gelegentlich von „web of modularity“ (deutsch: „Netz der Modularität“) und „modular forms are everywhere“ (deutsch: „Modulformen sind überall“) gesprochen wird. Damit ist gemeint, dass sie Brücken zwischen mathematischen aber auch physikalischen Theorien bauen, die längere Zeit als verschieden angesehen wurden und teils eine völlig unterschiedliche mathematische Historie und Tradition haben. In manchen Fällen sind solche Zusammenhänge in der Vergangenheit schon gezeigt worden, in anderen Fällen, besonders im Umfeld der Zahlentheorie und Darstellungstheorie, werden sie im Rahmen des Langlands-Programms bis heute nur vermutet. Sehr kurz beschreiben lassen sich diese Zusammenhänge durch ein „gemeinsames Vorhandensein von Symmetrie“. Vereinheitlichende mathematische Theorien sind von besonderem Interesse, weil sie die verborgene „Architektur der Mathematik“ sichtbar machen und durch diese Einsichten neue Anwendungsfelder eröffnen. In etwa eröffnet sich die Möglichkeit, Probleme einer Theorie äquivalent in eine andere Theorie zu übertragen, und gegebenenfalls mit den dort vorhandenen Methoden zu lösen. Auch in der theoretischen Physik gelten Modulformen als Bestandteil innerhalb mathematischer Theorien, die tiefere Strukturen hinter dem Aufbau des Universums erklären könnten – etwa im Umfeld der Stringtheorie – ähnlich wie die Riemannsche Geometrie aus der Mathematik die Grundlage für Albert Einsteins Relativitätstheorie bildete, die sich später experimentell bestätigen ließ.

Die Theorie der elliptischen Modulformen ist enorm umfangreich und bis heute Gegenstand intensiver Forschung. Zwei der sieben Millennium-Probleme der Mathematik – die Riemannsche Vermutung und die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer – treffen Aussagen über Objekte – sog. L-Funktionen –, die unmittelbar mit elliptischen Modulformen verknüpft sind. Etwa besagt die Riemannsche Vermutung, dass sämtliche nichttriviale Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion auf einer gemeinsamen Geraden liegen – und damit die Primzahlen ein „möglichst zufälliges“ Verteilungsmuster aufweisen. Diese Gerade ist eine Spiegelungsgerade für die Werte der Zetafunktion – und diese Symmetrie rührt von einer Modulform her, die mit der Zetafunktion assoziiert ist.

Um das Konzept einer elliptischen Modulform zu verstehen, kann es helfen, die trigonometrischen Funktionen, wie Sinus und Kosinus, als eine „Vorstufe“ zu sehen. Hier äußert sich die Symmetrie durch deren Periodizität und dem Spiegelungsverhalten an den Achsen bei gleichzeitiger Holomorphie (wenn auf komplexe Zahlen fortgesetzt). Im Falle der Modulformen kommen jedoch neben der Periodizität noch eine unendliche Anzahl weiterer Funktionalgleichungen hinzu, was ihnen erheblich mehr Struktur verleiht. Im einfachsten Falle spricht man bei einer holomorphen Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {H} \to \mathbb {C} }$ (als Funktion auf der oberen Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H} }$ der komplexen Zahlen)

von einer ganzen, elliptischen Modulform des Gewichts ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ zur vollen Modulgruppe, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

1. Funktionalgleichungen: ${\displaystyle (cz+d)^{-k}f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)}$ für alle ganzen Zahlen ${\displaystyle a,b,c,d}$ mit ${\displaystyle ad-bc=1}$ und alle ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$,
2. Wachstumsbedingung: ${\displaystyle \lim _{\mathrm {Im} (z)\to \infty }f(z)}$ existiert (mit dem Imaginärteil ${\displaystyle \mathrm {Im} (z)}$).

Durch die Wahl ${\displaystyle a=b=d=1}$ und ${\displaystyle c=0}$ ergibt sich

${\displaystyle f(z+1)=f(z)}$,

weshalb jede Modulform eine periodische Funktion ist. Als solche kann sie, wegen ihrer Holomorphie, in eine Fourier-Reihe entwickelt werden:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(f)e^{2\pi inz}}$,

wobei die Wachstumsbedingung äquivalent zu ${\displaystyle a_{n}(f)=0}$ für alle ${\displaystyle n<0}$ ist. Die Fourier-Koeffizienten tragen oft wichtige, zahlentheoretische Informationen. Zu den einfachsten Beispielen von Modulformen gehören die Eisensteinreihen.

Etwas allgemeiner handelt es sich bei elliptischen Modulformen um auf der oberen Halbebene meromorphe Funktionen, die oberes Transformationsverhalten bezüglich ihrer Funktionswerte respektieren, und am Rand ihres Definitionsbereichs kein zu starkes Wachstum besitzen. Wichtiger Spezialfall ist der Begriff der Modulfunktion, der zum Gewicht ${\displaystyle k=0}$ korrespondiert und damit zusätzlich eine Form der absoluten Invarianz fordert, was eine höhere Anforderung als denen einer Modulform darstellt.

Die Entdeckungsgeschichte der Modulformen lässt bis in die Anfänge des 19. Jahrhunderts zurückverfolgen, wo sie besonders mit Namen wie Carl Friedrich Gauß, Gotthold Eisenstein und Carl Gustav Jacobi assoziiert sind. Umfangreiche Forschungsprogramme ab dem 20. Jahrhundert haben jedoch zu sehr weitreichenden Verallgemeinerungen von „klassischen Modulformen“ geführt, und den Begriff der automorphen Formen geprägt, die in der modernen Mathematik primär als Objekte der Darstellungstheorie gesehen werden.

Neben den elliptischen Modulformen wurden viele weitere Arten von Modulformen gefunden, zum Beispiel Jacobiformen, Siegelsche Modulformen, Hilbertsche Modulformen sowie p-adische Modulformen.

Dieser Artikel geht hinsichtlich der mathematischen Details primär auf die Standardsituation der vollen Modulgruppe ein, beleuchtet die Bedeutung der elliptischen Modulformen jedoch im Kontext sämtlicher Kongruenzuntergruppen. Für die mathematischen Details dieser Verallgemeinerung wird auf den Artikel Elliptische Modulformen zu Kongruenzuntergruppen verwiesen.