Moufang-Identitäten

Eine zweistellige Verknüpfung ${\displaystyle \cdot }$ auf einer Menge ${\displaystyle X}$ erfüllt die Moufang-Identitäten (benannt nach der deutschen Mathematikerin Ruth Moufang), wenn für alle ${\displaystyle a,b,c\in X}$ die Gleichungen

(M1) ${\displaystyle {\Big (}a\cdot (b\cdot a){\Big )}\cdot c=a\cdot {\Big (}b\cdot (a\cdot c){\Big )}}$

und

(M2) ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (c\cdot a)=a\cdot {\Big (}(b\cdot c)\cdot a{\Big )}}$

gelten.

Dual dazu werden auch folgende Gleichungen als Moufang-Identitäten bezeichnet:

(M1') ${\displaystyle {\Big (}(a\cdot b)\cdot c{\Big )}\cdot b=a\cdot {\Big (}b\cdot (c\cdot b){\Big )}}$

und

(M2') ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (c\cdot a)={\Big (}a\cdot (b\cdot c){\Big )}\cdot a}$

In einer Quasigruppe ${\displaystyle (M,\cdot )}$ impliziert eine dieser vier Gleichungen jeweils die drei anderen. Außerdem sichert jede dieser Gleichung die Existenz eines neutralen Elements zu. Eine Quasigruppe, in der also (mindestens) eine der Moufang-Identitäten erfüllt ist, ist demnach eine Loop, die dann auch Moufang-Loop genannt wird.