Normale Matrix

Eine normale Matrix ist in der linearen Algebra eine Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ mit der Eigenschaft

${\displaystyle A^{*}\cdot A=A\cdot A^{*}}$,

also eine Matrix, die mit ihrer adjungierten Matrix kommutiert. Entsprechend ist eine reelle Matrix ${\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ normal, wenn

${\displaystyle B^{\mathsf {T}}\cdot B=B\cdot B^{\mathsf {T}}}$

gilt.

Der Spektralsatz besagt, dass eine Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ genau dann normal ist, wenn sie unitär diagonalisierbar ist, d. h. wenn es eine Diagonalmatrix ${\displaystyle D\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ und eine unitäre Matrix ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ gibt, so dass ${\displaystyle A=UDU^{*}}$ ist. Es existiert dann also eine Orthonormalbasis des ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ aus Eigenvektoren von ${\displaystyle A}$. Die Hauptdiagonalelemente von ${\displaystyle D}$ sind genau die Eigenwerte von ${\displaystyle A}$. Insbesondere sind jede reelle symmetrische Matrix und jede komplexe hermitesche Matrix normal. Zudem ist jede unitäre Matrix normal.