Optimaler Transport

In der Mathematik bezeichnet Optimaler Transport eine Theorie, die aus der analytischen Modellierung des Transportproblems entstanden ist. Lott und Villani sowie Sturm gaben mit Hilfe des optimalen Transports eine synthetische Definition von Ricci-Krümmungs-Schranken in allgemeinen metrischen Räumen.

Optimaler Transport ist ursprünglich ein (auf Monge und Kantorovich zurückgehendes) klassisches Problem, das ausgehend von einer gegebenen Anfangsverteilung und einer gewünschten Endverteilung nach dem günstigsten Transport sucht, bei dem die Anfangs- in die Endverteilung überführt wird.

Die Anfangs- und Endverteilungen werden durch Dichtefunktionen (Wahrscheinlichkeitsmaße) ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \nu }$ auf metrischen Räumen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ modelliert. Die Kostenfunktion ist eine gegebene Funktion ${\displaystyle c:X\times Y\rightarrow \mathbb {R} }$. Der Wert ${\displaystyle c(x,y)}$ gibt die Kosten für den Transport von ${\displaystyle x}$ nach ${\displaystyle y}$ an. Ein typisches Beispiel ist ${\displaystyle c(x,y)=\|x-y\|}$, falls ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Teilmengen eines normierten Vektorraumes sind, oder allgemeiner ${\displaystyle c(x,y)=h(x-y)}$ für eine differenzierbare Funktion ${\displaystyle h}$.

1. ↑ John Lott, Cédric Villani: Ricci curvature for metric-measure spaces via optimal transport. In: Annals of Mathematics. Bd. 169, 2009, S. 903–991, (PDF; 552 kB), doi:10.4007/annals.2009.169.903.
2. ↑ Karl-Theodor Sturm: On the geometry of metric measure spaces. (Memento vom 28. Juni 2007 im Internet Archive) In: Acta Mathematica. Bd. 196, Nr. 1, 2006, 65–131, (PDF; 591 kB), doi:10.1007/s11511-006-0002-8.