Ordnung eines Gruppenelementes

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter der Ordnung eines Gruppenelementes oder Elementordnung eines Elements ${\displaystyle g}$ einer Gruppe ${\displaystyle (G,\cdot )}$ die kleinste natürliche Zahl ${\displaystyle n>0}$, für die ${\displaystyle g^{n}=e}$ gilt, wobei ${\displaystyle e}$ das neutrale Element der Gruppe ist. Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, ${\displaystyle g}$ habe unendliche Ordnung. In Formeln:

${\displaystyle \operatorname {Ord} (g)=\inf\{n\in \mathbb {N} ^{+}:g^{n}=e\}}$

mit der Konvention ${\displaystyle \inf(\emptyset )=+\infty }$. Elemente endlicher Ordnung werden auch Torsionselemente genannt. Die Ordnung wird manchmal mit ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)}$ oder ${\displaystyle \operatorname {o} (g)}$ bezeichnet.

Die Potenz ${\displaystyle g^{n}}$ eines Gruppenelementes ${\displaystyle g}$ ist dabei für natürliche Exponenten ${\displaystyle n\geq 0}$ induktiv definiert:

• ${\displaystyle g^{0}:=e}$
• ${\displaystyle g^{k+1}:=g^{k}\cdot g}$ für alle natürlichen ${\displaystyle k\geq 0}$

Die Zahl ${\displaystyle \exp(G):=\operatorname {kgV} \left\{\operatorname {ord} (g)\,|\,g\in G\right\}}$ wird, wenn sie endlich ist, Gruppenexponent genannt.