Pellsche Gleichung

Als Pellsche Gleichung (nach John Pell, 1611–1685) bezeichnet man eine diophantische Gleichung der Form

${\displaystyle x^{2}-n\cdot y^{2}=1}$

mit positiv ganzzahligem ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}$.

Ist ${\displaystyle n=k^{2}}$ eine Quadratzahl einer natürlichen Zahl ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{+}}$, so besitzt die Gleichung offensichtlich nur die beiden trivialen Lösungen ${\displaystyle (\pm 1,\ 0)}$. Andernfalls gibt es unendlich viele Lösungen, die man mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung von ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ bestimmen kann. Die verwandten Gleichungen ${\displaystyle x^{2}-n\cdot y^{2}=-1\,}$ bezeichnet man oft als negative Pellsche Gleichungen und ${\displaystyle x^{2}-n\cdot y^{2}=d\,}$ mit beliebigem ganzzahligen ${\displaystyle d\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}$ als verallgemeinerte Pellsche Gleichungen.

Die Gleichung wird John Pell fälschlicherweise zugeschrieben. Korrekter wäre die Bezeichnung Fermatsche Gleichung.

Die Gleichung war in Indien schon Brahmagupta im 7. und Bhaskara II. im 12. Jahrhundert bekannt. In Europa tauchte die Gleichung erst im 17. Jahrhundert auf. Die Lösung dieser Gleichung war als Problem von Pierre de Fermat in einem Brief an Bernard Frénicle de Bessy gestellt worden und 1657 als Problem veröffentlicht. Pell befasste sich nie mit der Lösung der Gleichung. Brouncker fand einige Lösungen (veröffentlicht im Commercium epistolicum of John Wallis 1658). Leonhard Euler stieß auf die Lösung von Brouncker in der lateinischen Ausgabe des Treatise of Algebra von John Wallis und benannte die Gleichung fälschlich nach Pell. Euler veröffentlichte zuerst 1732 über die Pell-Gleichung und fand später die Verbindung mit Kettenbrüchen (veröffentlicht 1765), die im Grunde schon hinter der Lösung von Brouncker steckt. Joseph-Louis Lagrange befasste sich nach Euler ausführlich mit der Gleichung und gab als Erster einen Beweis, dass es für jedes ${\displaystyle n}$ eine Lösung gibt, wobei Fermat möglicherweise auch einen Beweis hatte.

1. ↑ Siehe Artikel von H. W. Lenstra Jr.
2. ↑ So auch Dickson, History of the theory of numbers, Band 2, S. 341 (Kapitel 12 zur Geschichte der Pellschen Gleichung)
3. ↑ Noel Malcolm, Jacqueline Steadall: John Pell in his correspondence with Sir Charles Cavendish, Oxford UP, 2005, S. 320
4. ↑ André Weil, Number theory - An approach through history from Hammurapi to Legendre, Birkhäuser 1984, S. 174
5. ↑ Dickson, History of the theory of numbers, Band 2, Carnegie Institution 1920, S. 353. Er benutzte seine Methode des unendlichen Abstiegs