Quadratur der Parabel

Die Quadratur der Parabel wird beschrieben durch folgenden Satz:

Die Flächenmaßzahl eines Parabelsegments beträgt ${\displaystyle {\frac {4}{3}}}$ der Flächenmaßzahl des einbeschriebenen Dreiecks mit derselben Höhe.

Der erste Beweis dieser Aussage stammt von dem berühmten griechischen Mathematiker Archimedes und erschien in seinem überlieferten Werk Die Quadratur der Parabel, das eine Sammlung von Briefen an den griechischen Mathematiker Dositheos darstellt, in denen er die Lösung des Problems beschreibt.

Archimedes bewies seine Behauptung für Parabelsegmente, die nicht notwendig symmetrisch zur y-Achse sind. Für y-achsensymmetrische Parabelsegmente lässt sich die Aussage des Satzes kürzer auch mittels Integration beweisen.

Beide Beweisvarianten werden aus Gründen der Vergleichbarkeit im Folgenden für symmetrische Parabelsegmente durchgeführt, wie es unter anderem auch bei Deiser zu finden ist.

Folgende Vereinfachungen werden ohne Beschränkung der Allgemeinheit beiden Beweisvarianten zugrunde gelegt:

• Die Parabel mit der Gleichung ${\displaystyle f(x)=kx^{2}}$ mit ${\displaystyle k>0}$ und ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ist eine gestreckte Normalparabel, wodurch das Verhältnis zwischen der Maßzahl des Parabelsegments und der Maßzahl des einbeschriebenen Dreiecks für alle ${\displaystyle k}$ konstant ist. Aus diesem Grunde reicht es aus, die Normalparabel zu betrachten.
• Aus Symmetriegründen genügt der Nachweis für das halbe Parabelsegment, das sich hier auf eine nach oben geöffnete Normalparabel bezieht.

1. ↑ Oliver Deiser: Ausblick: Die Quadratur der Parabel bei Archimedes, Analysis 2, 1. Abschnitt: Integration, München 2022, Seiten 36 und 37