Rayleigh-Ritz-Prinzip

Das Rayleigh-Ritz-Prinzip (auch Verfahren von Ritz oder Rayleigh-Ritzsches Variationsverfahren) ist ein Variationsprinzip zur Bestimmung des kleinsten Eigenwerts eines Eigenwertproblems. Es geht auf das Buch The Theory of Sound von John William Strutt, 3. Baron Rayleigh (1877) zurück und wurde 1908 vom Mathematiker Walter Ritz als mathematisches Verfahren veröffentlicht.

Es sei ${\displaystyle H}$ ein linearer, selbstadjungierter Operator auf einem Hilbertraum über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ mit Definitionsbereich ${\displaystyle D(H)}$. Dann ist das Infimum des Spektrums ${\displaystyle \sigma (H)}$ gegeben durch

${\displaystyle \inf \sigma (H)=\inf _{\psi \in D(H)\setminus \{0\}}{\frac {\langle \psi |H|\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}}$.

Ist ${\displaystyle E_{0}=\inf \sigma (H)}$ ein Eigenwert, und somit insbesondere endlich, so erhält man die Ungleichung

${\displaystyle E_{0}\leq {\frac {\langle \psi |H|\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}}$

mit Gleichheit genau dann, wenn ${\displaystyle \psi }$ ein Eigenvektor zu ${\displaystyle E_{0}}$ ist. Der Quotient auf der rechten Seite ist als Rayleigh-Quotient bekannt.

In der Praxis eignet es sich auch als Näherungsverfahren, indem man einen Ansatz für ${\displaystyle |\psi \rangle }$ mit unbestimmten Parametern macht und die Parameter so optimiert, dass der Rayleigh-Quotient minimal wird. Statt über Vektoren im Definitionsbereich ${\displaystyle D(H)}$ kann man auch über Vektoren im quadratischen Formenbereich ${\displaystyle Q(H)}$ optimieren, was dann einer schwachen Formulierung des Eigenwertproblems entspricht.

1. ↑ R.W.B. Stephens, Murray Campbell: Rayleigh, John William Strutt, 3rd Baron. In: Oxford Music Online. Oxford University Press, 2001, doi:10.1093/gmo/9781561592630.article.22977 (oxfordmusiconline.com [abgerufen am 18. Oktober 2022]). 
2. ↑ John William Strutt: The Theory of Sound. 1. Auflage. Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-1-108-03220-9, doi:10.1017/cbo9781139058087 (cambridge.org [abgerufen am 18. Oktober 2022]). 
3. ↑ Walter Ritz: Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). Band 1909, Nr. 135, 1. Januar 1909, ISSN 0075-4102, S. 1–61, doi:10.1515/crll.1909.135.1 (degruyter.com [abgerufen am 18. Oktober 2022]). 
4. ↑ Mathieu Lewin: Spectral Theory and Quantum Mechanics. Springer International Publishing, Cham 2024, ISBN 978-3-03166877-7, S. 64.