Studentsche t-Verteilung

Die studentsche t-Verteilung (auch Student-t-Verteilung oder kurz t-Verteilung) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1908 von William Sealy Gosset entwickelt und nach seinem Pseudonym Student benannt wurde.

Gosset hatte festgestellt, dass die standardisierte Schätzfunktion des Stichproben-Mittelwerts normalverteilter Daten nicht mehr normalverteilt, sondern ${\displaystyle t}$-verteilt ist, wenn die zur Standardisierung des Mittelwerts benötigte Varianz des Merkmals unbekannt ist und mit der Stichprobenvarianz geschätzt werden muss. Seine ${\displaystyle t}$-Verteilung erlaubt – insbesondere für kleine Stichprobenumfänge – die Berechnung der Verteilung der Differenz vom Mittelwert der Stichprobe zum wahren Mittelwert der Grundgesamtheit.

Die ${\displaystyle t}$-Werte hängen vom Signifikanzniveau sowie von der Stichprobengröße ${\displaystyle n}$ ab und bestimmen das Vertrauensintervall und damit die Aussagekraft der Schätzung des Mittelwertes. Die ${\displaystyle t}$-Verteilung wird mit wachsendem ${\displaystyle n}$ schmaler und geht für ${\displaystyle n\to \infty }$ in die Standardnormalverteilung über (siehe Grafik rechts). Hypothesentests, bei denen die ${\displaystyle t}$-Verteilung Verwendung findet, bezeichnet man als t-Tests.

Die Herleitung wurde erstmals 1908 veröffentlicht, als Gosset in der Dubliner Guinness-Brauerei arbeitete. Da sein Arbeitgeber die Veröffentlichung nicht gestattete, veröffentlichte Gosset sie unter dem Pseudonym Student. Der t-Faktor und die zugehörige Theorie wurden erst durch die Arbeiten von R. A. Fisher belegt, der die Verteilung Student’s distribution (Student’sche Verteilung) nannte.

Die ${\displaystyle t}$-Verteilung kommt allerdings auch schon in früheren Publikationen anderer Autoren vor. Zuerst wurde sie 1876 von Jacob Lüroth als A-posteriori-Verteilung bei der Behandlung eines Problems der Ausgleichsrechnung hergeleitet, 1883 in einem ähnlichen Zusammenhang von Edgeworth.

1. 1 2 Student: The Probable Error of a Mean. In: Biometrika. Band 6, Nr. 1, 1908, S. 1–25, doi:10.1093/biomet/6.1.1, JSTOR:2331554. 
2. ↑ Josef Bleymüller, Günther Gehlert, Herbert Gülicher: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. 14. Auflage. Vahlen, 2004, ISBN 3-8006-3115-6, S. 16. 
3. ↑ J. Pfanzagl, O. Sheynin: A forerunner of the t-distribution (Studies in the history of probability and statistics XLIV). In: Biometrika. Band 83, Nr. 4, 1996, S. 891–898, doi:10.1093/biomet/83.4.891. 
4. ↑ P. Gorroochurn: Classic Topics on the History of Modern Mathematical Statistics from Laplace to More Recent Times. Wiley, 2016, doi:10.1002/9781119127963.