Sturm-Liouville-Problem

Sturm-Liouville-Probleme (nach Charles-François Sturm (1803–1855) und Joseph Liouville (1809–1882)) sind ein Typ von Eigenwertproblemen aus der Analysis. Zu gegebenen Koeffizientenfunktionen ${\displaystyle p,q,w}$ und ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ betrachtet man die Differentialgleichung 2. Ordnung

${\displaystyle \left(p\cdot \psi '\right)'+q\cdot \psi =-\lambda \cdot w\cdot \psi }$

auf einem vorgegebenen Intervall ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ für eine Funktion ${\displaystyle \psi \in C^{2}([a,b])}$. Verlangt man, dass ${\displaystyle \psi }$ Randbedingungen der Form

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\alpha )\psi (a)&+\sin(\alpha )p(a)\psi '(a)=0\\\cos(\beta )\psi (b)&+\sin(\beta )p(b)\psi '(b)=0\end{aligned}}}$

genügt (${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$), so kann die Differentialgleichungen abhängig von ${\displaystyle \lambda }$ entweder keine, genau eine oder mehrere Lösungen haben. Das Sturm-Liouville-Problem besteht darin, für jedes ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ die Existenz und Anzahl der Lösungen zu ermitteln und soweit möglich die Lösungen explizit zu konstruieren. Es existieren Sätze, die für eine sehr allgemeine Klasse von Koeffizientenfunktionen die Frage nach der Existenz beantworten und Eigenschaften der Lösungsfunktionen beschreiben.

Führt man den linearen Operator der Form

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{w}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)}$

ein, den Sturm-Liouville-Operator, so hat das Sturm-Liouville-Problem die Form der Eigenwertgleichung ${\displaystyle {\mathcal {L}}\psi =-\lambda \psi }$ und kann mithilfe von Methoden aus der Funktionalanalysis (Spektraltheorie) im Hilbertraum der bezüglich der Gewichtsfunktion ${\displaystyle w}$ quadratintegrierbaren Funktionen behandelt werden. In diesem Sinn stellen Sturm-Liouville-Projekte eine Brücke zwischen der klassischen Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen und der modernen Theorie der Funktionalanalysis dar.