Substantielle Ableitung

Die substantielle Ableitung (auch materielle Ableitung oder lokale Ableitung plus konvektive Ableitung) beschreibt, mit welcher Rate sich ein gegebenes physikalisches Feld am Ort eines Fluidteilchens ändert, während dieses von einer Strömung durch das Feld getragen wird.

In mathematischer Hinsicht handelt es sich um die totale Ableitung des Feldes entlang der Bahn des Teilchens. Die vom Teilchen auf seiner Bahn wahrgenommene Änderung setzt sich zusammen aus zwei Komponenten: Der Änderung aufgrund unterschiedlicher Feldstärken an Orten, die das Teilchen nacheinander durchläuft, und einer eventuellen Zeitabhängigkeit des Feldes an dem vom Teilchen durchlaufenen Ort.

Das Feld kann ein extern vorgegebenes Feld sein, das von dem Fluid durchströmt wird, z. B. ein elektrisches oder magnetisches Feld, ein Gravitationsfeld, aber auch ein Gravitationspotential oder eine sonstige beliebige physikalische oder mathematische Größe, solange deren Ableitungen gebildet werden können. Das Feld kann auch eine Eigenschaft des strömenden Fluids beschreiben, z. B. seine Temperatur, seine Dichte, seinen Druck oder seine Enthalpiedichte. Die Beschreibung des Feldes erfolgt in diesen Fällen in der Regel vom Standpunkt eines ruhenden Beobachters aus.

Insbesondere kann das betrachtete Feld das Geschwindigkeitsfeld der Strömung selbst sein. Die substantielle Ableitung beschreibt in diesem Fall die Änderung der Geschwindigkeit des Teilchens, während es der Strömung folgt, also seine Beschleunigung in der (und durch die) Strömung. Die Ermittlung dieser Beschleunigung in Abhängigkeit von den auf das Teilchen wirkenden Kräften ist Ausgangspunkt der Fluiddynamik.

Im Folgenden wird die Bewegung des betrachteten Teilchens durch das Feld als strömungsbedingt betrachtet; es kann sich aber auch allgemeiner um die Bewegung eines Volumenelements während der Deformation eines elastischen oder inelastischen Mediums handeln. Die Kontinuumsmechanik behandelt alle diese Fälle auf einer gemeinsamen Basis.