Teilbare Gruppe

In der Mathematik heißt eine Gruppe G teilbar oder dividierbar, falls man jedes Gruppenelement durch jede natürliche Zahl teilen kann. Gemeint ist damit: Zu jedem Gruppenelement ${\displaystyle g}$ und zu jeder natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ gibt es ein Gruppenelement ${\displaystyle x}$, so dass

${\displaystyle g=\underbrace {x\ast \ldots \ast x} _{n{\text{-mal}}}}$

gilt. Hierbei wurde die Gruppenverknüpfung mit einem Stern ${\displaystyle \ast }$ geschrieben.

Wird (wie bei abelschen Gruppen üblich) die Verknüpfung in der Gruppe als Addition geschrieben, so bedeutet die definierende Bedingung: Zu jedem ${\displaystyle g\in G}$ und zu jeder natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ gibt es ein ${\displaystyle x\in G}$ mit

${\displaystyle g=x+\ldots +x=n\cdot x}$.

Jedes Gruppenelement ${\displaystyle g}$ ist also durch ${\displaystyle n}$ teilbar.

Schreibt man die Verknüpfung wie bei allgemeinen Gruppen üblich als Multiplikation, so bedeutet die Bedingung: Zu jedem ${\displaystyle g\in G}$ und zu jeder natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ gibt es ein ${\displaystyle x\in G}$ mit

${\displaystyle g=x\cdot \ldots \cdot x=x^{n}.}$

Es existiert also eine ${\displaystyle n}$-te Wurzel aus ${\displaystyle g}$.

Hintergrund ist die naheliegende Frage: Wann ist eine Zahl ${\displaystyle y}$ durch eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ teilbar oder dividierbar? Dies wird auf Gruppen verallgemeinert. Schon Euklid beschrieb das Problem: Für welche Zahlen ${\displaystyle y}$ ist die Gleichung ${\displaystyle y=x+x=2\cdot x}$ lösbar. Welche Zahlen sind Vielfache einer gegebenen natürlichen Zahl.

${\displaystyle y=n\cdot x=\underbrace {x+\ldots +x} _{n{\text{-mal}}}}$.

Ein auf den ersten Blick anderes Thema behandelt Euklid im 10. Buch und beweist: Es gibt keinen Bruch, welcher die Gleichung ${\displaystyle x^{2}=2}$ löst. Für welche Zahlen ${\displaystyle y}$ ist die Gleichung

${\displaystyle y=\underbrace {x\cdot \ldots \cdot x} _{n{\text{-mal}}}=x^{n}.}$

lösbar? Drückt man diese beiden Fragen mit Hilfe von Abbildungen aus, so leuchtet der gemeinsame Hintergrund auf.

• Ist ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,n\geq 2}$, so ist die Abbildung

${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} \ni z\mapsto n\cdot z\in \mathbb {Z} }$ nicht surjektiv. Aber die Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {Q} \ni q\mapsto n\cdot q\in \mathbb {Q} }$ ist surjektiv.

• Die Abbildung ${\displaystyle :g\colon \mathbb {Q} \ni q\mapsto q^{n}\in \mathbb {Q} }$ ist nicht surjektiv. Aber die Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \ni z\mapsto z^{n}\in \mathbb {C} }$ ist surjektiv.

Diese Beobachtung legt es nahe, von den ganzen Zahlen und den Brüchen zu abstrahieren.

1. ↑ Euklid: Die Elemente. Buch I – XIII. Aus dem Griechischen übersetzt und herausgegeben von Clemens Thaer. 7., unveränderte Auflage. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1980, ISBN 3-534-01488-X.