Von-Neumann-Gleichung

Die Von-Neumann-Gleichung (nach John von Neumann) stellt das quantenmechanische Analogon zur Liouville-Gleichung der klassischen statistischen Mechanik dar. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung des Dichteoperators ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ im Schrödinger-Bild:

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {\rho }}}{\partial t}}=-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\rho }}\right]}$

Dabei ist

• ${\displaystyle {\hat {H}}}$ der Hamilton-Operator des Systems
• ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {\rho }}]={\hat {H}}{\hat {\rho }}-{\hat {\rho }}{\hat {H}}}$ ein Kommutator.

Der Dichteoperator ist ${\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum \nolimits _{k}\,p_{k}|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|}$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle p_{k}}$ die Wahrscheinlichkeit, in einem Gemisch den reinen Zustand ${\displaystyle |\psi _{k}\rangle }$ zu messen, falls die Zustände ${\displaystyle |\psi _{k}\rangle }$ orthogonal sind. Die Spur ${\displaystyle \operatorname {Tr} ({\hat {\rho }})}$ eines Dichteoperators ergibt 1, da ${\displaystyle \operatorname {Tr} ({\hat {\rho }})=\sum \nolimits _{k}p_{k}=1}$.