Zwischenwertsatz

In der Analysis ist der Zwischenwertsatz ein grundlegender Satz über den Wertebereich von stetigen Funktionen.

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion ${\displaystyle f}$, die auf einem abgeschlossenen Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ stetig ist, jeden Wert zwischen ${\displaystyle f(a)}$ und ${\displaystyle f(b)}$ annimmt. Haben insbesondere ${\displaystyle f(a)}$ und ${\displaystyle f(b)}$ verschiedene Vorzeichen, so garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer Nullstelle von ${\displaystyle f}$ im offenen Intervall ${\displaystyle (a,b)}$. Dieser Sonderfall ist als Nullstellensatz von Bolzano bekannt und nach Bernard Bolzano benannt. Andererseits kann der Zwischenwertsatz aber auch aus dem Nullstellensatz hergeleitet werden. Die beiden Formulierungen sind also äquivalent.

1. ↑ Beim axiomatischen Aufbau der reellen Zahlen kann das Zwischenwertaxiom, also die Forderung nach der Gültigkeit des Zwischenwertsatzes für alle Intervalle und alle auf diesen definierten stetigen, reellen Funktionen, an die Stelle des sonst üblichen Supremumsaxioms treten. Hier zeigt sich auch, dass der Zwischenwertsatz und (nicht zuletzt) der Satz vom Minimum und Maximum in diesem Zusammenhang gleichwertige Aussagen sind.