Affine Lie-Algebra

Eine affine Lie-Algebra ist in der Mathematik eine unendlichdimensionale Lie-Algebra, die auf kanonische Weise aus einer endlichdimensionalen Lie-Algebra konstruiert wird. Dies ermöglicht die Konstruktion affiner Kac-Moody-Algebren.

Sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine endlich-dimensionale Lie-Algebra. Dann ist die zugehörige affine Lie-Algebra ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ definiert als der Vektorraum

${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}={\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} [t,t^{-1}]\oplus \mathbb {C} c}$

mit der Kommutator-Relation

${\displaystyle \left[a\otimes t^{n}+\alpha c,b\otimes t^{m}+\beta c\right]=\left[a,b\right]\otimes t^{n+m}+\langle a,b\rangle n\delta _{m+n,0}c}$

für ${\displaystyle a,b\in {\mathfrak {g}},\alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,n,m\in \mathbb {Z} }$. Hierbei bedeutet ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ die Lie-Klammer in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ die Killing-Form von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ und ${\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]}$ ist die assoziative Algebra der Laurent-Polynome.

${\displaystyle c}$ ist ein Element des Zentrums der Liealgebra und ${\displaystyle \mathbb {C} c}$ ist daher ein zentrales Ideal. Weiter hat man eine kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {C} c\rightarrow {\hat {\mathfrak {g}}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} [t,t^{-1}]\rightarrow 0}$

von Lie-Algebren.^[1]

Wir definieren durch die Formeln

${\displaystyle d(c):=0}$

${\displaystyle d(a\otimes f):=a\otimes (t{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}})(f),\quad a\in {\mathfrak {g}},f\in \mathbb {C} [t,t^{-1}]}$

eine Derivation auf ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$. Beachte dazu, dass durch den Differentialoperator ${\displaystyle t{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}}$ eine Derivation auf ${\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]}$ erklärt ist. Die erweiterte affine Lie-Algebra ${\displaystyle {\tilde {\mathfrak {g}}}}$ entsteht aus ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ durch Adjunktion dieser Derivation, das heißt

${\displaystyle {\tilde {\mathfrak {g}}}:=\mathbb {C} d\ltimes {\hat {\mathfrak {g}}}}$,

wobei ${\displaystyle \ltimes }$ für die semidirekte Summe steht. Die so konstruierte Algebra ${\displaystyle {\tilde {\mathfrak {g}}}}$ heißt die zu ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ gehörige erweiterte affine Lie-Algebra oder einfach erweiterte affine Algebra.

Aus den bekannten endlich-dimensionalen einfachen Lie-Algebren A_n, B_n, C_n, D_n, E₆, E₇, E₈, F₄, G₂ kann man mittels obiger Konstruktion die Kac-Moody-Algebren affinen Typs konstruieren, genauer die ungetwisteten Kac-Moody-Algebren affinen Typs. Weitere treten als Fixpunktalgebren gewisser Automorphismen auf, man spricht dann von getwisteten Kac-Moody-Algebren affinen Typs. Wir konstruieren im Folgenden sämtliche Kac-Moody-Algebren affinen Typs, die von unzerlegbaren verallgemeinerten Cartan-Matrizen herrühren. Dies sind sogenannte Realisierungen der abstrakt definierten Kac-Moody-Algebren, das heißt man erhält zu jeder Kac-Moody-Algebra affinen Typs mit unzerlegbarer, verallgemeinerter Cartan-Matrix einen konkreten Vektorraum mit einer Lie-Klammer wie oben angegeben, so dass diese Lie-Algebra der entsprechenden Isomorphieklasse angehört.^[2]

Für ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ wählen wir in obiger Konstruktion die endlichdimensionalen einfachen Lie-Algebren ${\displaystyle A_{n}}$, ${\displaystyle B_{n}}$, ${\displaystyle C_{n}}$, ${\displaystyle D_{n}}$, ${\displaystyle E_{6}}$, ${\displaystyle E_{7}}$, ${\displaystyle E_{8}}$, ${\displaystyle F_{4}}$, ${\displaystyle G_{2}}$, wobei die angegebenen Typen die einfache Lie-Algebra bis auf Isomorphie charakterisieren. Dann bezeichnet man die erweiterten affinen Lie-Algebren daraus mit ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$, ${\displaystyle {\tilde {B}}_{n}}$, ${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}$, ${\displaystyle {\tilde {D}}_{n}}$, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$, ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$, ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$. Es handelt sich um Kac-MoodyAlgebren affinen Typs mit unzerlegbaren verallgemeinerten Cartan-Matrizen. Wir geben neben diesen auch die zugehörigen Dynkin-Diagramme an.

Typ	Verallgemeinerte Cartan-Matrix	Dynkin-Diagramm
${\displaystyle {\tilde {A}}_{n},\,n\geq 1}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&&&&&-1\\-1&2&-1&&&&\\&-1&.&.&&&\\&&.&.&.&&\\&&&.&.&-1&\\&&&&-1&2&-1\\-1&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\tilde {B}}_{n},\,n\geq 3}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&&-1&&&&\\&2&-1&&&&\\-1&-1&2&-1&&&\\&&-1&.&.&&\\&&&.&.&-1&\\&&&&-1&2&-1\\&&&&&-2&2\\\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\tilde {C}}_{n},\,n\geq 2}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&&&&&\\-2&2&-1&&&&\\&-1&.&.&&&\\&&-1&.&-1&&\\&&&.&.&-1&\\&&&&-1&2&-2\\&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\tilde {D}}_{n},\,n\geq 4}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&&-1&&&&\\&2&-1&&&&\\-1&-1&.&.&&&\\&&-1&.&-1&&\\&&&.&.&-1&-1\\&&&&-1&2&\\&&&&-1&&2\\\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&&&&-1&&\\&2&-1&&&&\\&-1&2&-1&&&\\&&-1&2&-1&-1&\\-1&&&-1&2&&\\&&&-1&&2&-1\\&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&&&&&&&-1\\&2&-1&&&&&\\&-1&2&-1&&&&\\&&-1&2&-1&&&\\&&&-1&2&-1&-1&\\&&&&-1&2&&\\&&&&-1&&2&-1\\-1&&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&2&-1&&&&\\&&&-1&2&-1&&&\\&&&&-1&2&-1&-1&\\&&&&&-1&2&&\\&&&&&-1&&2&-1\\&&&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&&&\\-1&2&-1&&\\&-1&2&-1&\\&&-2&2&-1\\&&&-1&2\\\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&\\-1&2&-1\\&-3&2\\\end{pmatrix}}}$

Beachte, dass die Matrixgröße, das heißt die Zeilen- bzw. Spaltenzahl, um eins größer ist als der Index des Typnamens. Genauso verhält es sich mit der Anzahl der Knoten des zugehörigen Dynkin-Diagramms.

Die weiteren Kac-Moody-Algebren affinen Typs können als Unteralgebren ungetwisteter Kac-Moody-Algebren konstruiert werden, genauer als Fixpunktalgebra eines Automorphismus. Im Folgenden sei ${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ der Automorphismus, der zu einem der nebenstehend abgebildeten Graphautomorphismen der Dynkin-Diagramme zu ${\displaystyle A_{n}}$, ${\displaystyle D_{n}}$ und ${\displaystyle E_{6}}$ gehört. Eine Besonderheit tritt bei ${\displaystyle D_{4}}$ auf, hier gibt es einen zusätzliche Automorphismus der Ordnung 3, alle anderen Automorphismen haben offenbar die Ordnung 2. Dazu konstruieren wir nun Automorphismen ${\displaystyle \tau }$ auf den erweiterten affinen Lie-Algebren, indem wir definieren:

${\displaystyle \tau (a\otimes t^{m})=e^{2\pi \mathrm {i} m/\mathrm {ord} (\sigma )}\cdot \sigma (a)\otimes t^{m}}$

${\displaystyle \tau (c)=c,\quad \tau (d)=d}$

Der skalare Faktor ist eine ${\displaystyle \mathrm {ord} (\sigma )}$-te Einheitswurzel. Würde man statt dieser einfach 1 verwenden, so erhielte man auch Automorphismen, die aber nicht das Gewünschte leisten. Wegen der Einheitswurzel spricht man von getwisteten Automorphismen und nennt daher auch die Fixpunktalgebren

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\tau }:=\{x\in {\mathfrak {g}}\mid \tau (x)=x\}}$

getwistete Algebren. Mittels dieser Konstruktion können die restlichen Kac-Moody-Algebren affinen Typs mit den Standardbezeichnungen ${\displaystyle {\tilde {B}}_{n}^{t}}$, ${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}^{t}}$, ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}^{t}}$, ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}^{t}}$, ${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}'}$, ${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}'}$ konstruiert werden. Man verwendet dieselben Namen für die zugehörigen verallgemeinerten Cartan-Matrizen sowie für die zugehörigen Dynkin-Diagramme. Das hochgestellte t steht nicht für einen Automorphismus, sondern für Matrixtransposition.

Man erhält folgende Aufstellung:

Typ	Fixpunktalgebra	Verallgemeinerte Cartan-Matrix	Dynkin-Diagramm
${\displaystyle {\tilde {B}}_{n}^{t},\,n\geq 3}$	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2n-1}^{\tau }}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&&-1&&&&\\&2&-1&&&&\\-1&-1&.&.&&&\\&&-1&.&-1&&\\&&&.&.&-1&\\&&&&-1&2&-2\\&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}^{t},\,n\geq 2}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n+1}^{\tau }}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-2&&&&&\\-1&2&-1&&&&\\&-1&.&-1&&&\\&&.&.&.&&\\&&&-1&.&-1&\\&&&&-1&2&-1\\&&&&&-2&2\\\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}^{t}}$	${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}^{\tau }}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&&&\\-1&2&-1&&\\&-1&2&-2&\\&&-1&2&-1\\&&&-1&2\\\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}^{t}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}^{\tau }}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&\\-1&2&-3\\&-1&2\\\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}'}$	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}^{\tau }}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1\\-4&2\\\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}',\,n\geq 2}$	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2n}^{\tau }}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-2&&&&&\\-1&2&-1&&&&\\&-1&.&-1&&&\\&&.&.&.&&\\&&&.&.&-1&\\&&&&-1&2&-2\\&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}}$

Für die Größen der Matrizen und Dynkin-Diagramme gilt das für die ungetwisteten Algebren Gesagte. Ferner beachte, dass ${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}^{\tau }}$ in obiger Liste zweimal vorkommt. Es handelt sich bei den zwei Fällen um verschiedene Automorphismen ${\displaystyle \tau }$, für ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}^{t}}$ wird der Autorphismus des oben genannten Sonderfalls für ${\displaystyle D_{4}}$ verwendet, für ${\displaystyle {\tilde {D}}_{n+1}^{\tau }}$ mit ${\displaystyle n=3}$ ist es der Automorphismus, der nur die zwei Enden des Dynkin-Diagramms austauscht.

1. ↑ Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1989) ISBN 0-12-267065-5, Kapitel 1.6: Affine Lie Algebras
2. ↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 18: Realisations of affine Kac-Moody algebras