Airy-Funktion

Die Airy-Funktion ${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)}$ bezeichnet eine spezielle Funktion in der Mathematik. Die Funktion ${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)}$ und die verwandte Funktion ${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)}$, die ebenfalls Airy-Funktion genannt wird, sind Lösungen der linearen Differentialgleichung

${\displaystyle \ y''-xy=0\ ,}$

auch bekannt als Airy-Gleichung. Sie beschreibt unter anderem die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen linearen Potentialtopf.

Die Airy-Funktion ist nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy benannt, der diese Funktion in seinen Arbeiten in der Optik verwendete (Airy 1838). Die Bezeichnung ${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)}$ wurde von Harold Jeffreys eingeführt.

Für reelle Werte ${\displaystyle x}$ ist die Airy-Funktion als Parameterintegral definiert:

${\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,{\rm {d}}t\ .}$

Eine zweite, linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung ist die Airy-Funktion zweiter Art ${\displaystyle \mathrm {Bi} }$:

${\displaystyle \mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\left(\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\right)\,{\rm {d}}t\ .}$

Die komplexe Airy-Funktion ist

${\displaystyle \operatorname {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\tfrac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,}$

mit Kontour ${\displaystyle C}$ von ${\displaystyle z_{1}=\infty }$ mit ${\displaystyle \operatorname {arg} (z_{1})=-\pi /3}$ nach ${\displaystyle z_{2}=\infty }$ mit ${\displaystyle \operatorname {arg} (z_{2})=\pi /3}$.

Für ${\displaystyle x}$ gegen ${\displaystyle +\infty }$ lassen sich ${\displaystyle \mathrm {Ai} (x)}$ und ${\displaystyle \mathrm {Bi} (x)}$ mit Hilfe der WKB-Näherung approximieren:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\simeq {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&{}\simeq {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle x}$ gegen ${\displaystyle -\infty }$ gelten die Beziehungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\simeq {\frac {\sin({\frac {2}{3}}(-x)^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,(-x)^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&{}\simeq {\frac {\cos({\frac {2}{3}}(-x)^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,(-x)^{1/4}}}.\end{aligned}}}$

Die Airy-Funktionen haben nur Nullstellen auf der negativen reellen Achse.^[1] Die ungefähre Lage folgt aus dem asymptotischen Verhalten für ${\displaystyle x\to -\infty }$ zu

${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)=0\quad \Rightarrow \quad x\approx -{\bigl (}\textstyle {\frac {3}{2}}\pi (n-{\frac {1}{4}}){\bigr )}^{2/3},\quad n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)=0\quad \Rightarrow \quad x\approx -{\bigl (}\textstyle {\frac {3}{2}}\pi (n-{\frac {3}{4}}){\bigr )}^{2/3},\quad n\in \mathbb {N} }$

Die Airy-Funktionen und ihre Ableitungen haben für ${\displaystyle x=0}$ die folgenden Werte:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{9}}\cdot \Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{{\sqrt[{3}]{3}}\cdot \Gamma ({\frac {1}{3}})}},\\\mathrm {Bi} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{6}]{3}}\cdot \Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Bi} '(0)&{}={\frac {\sqrt[{6}]{3}}{\Gamma ({\frac {1}{3}})}}.\end{aligned}}}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ die Gammafunktion. Es folgt, dass die Wronski-Determinante von ${\displaystyle \mathrm {Ai} (x)}$ und ${\displaystyle \mathrm {Bi} (x)}$ gleich ${\displaystyle {\tfrac {1}{\pi }}}$ ist.

Direkt aus der Definition der Airy-Funktion ${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)}$ (siehe oben) folgt deren Fourier-Transformierte.

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\operatorname {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (x)\ \mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} kx}\,dx=\mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} }{3}}(2\pi k)^{3}}\,.}$

Man beachte die hier verwendete symmetrische Variante der Fourier-Transformation.

• Unter Verwendung der hypergeometrischen Funktion ${\displaystyle {}_{0}F_{1}}$

${\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{3^{2/3}\cdot \Gamma ({\tfrac {2}{3}})}}\cdot \,{}_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {2}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)-{\frac {z}{3^{1/3}\cdot \Gamma ({\tfrac {1}{3}})}}\cdot \,{}_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {4}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)}$

${\displaystyle \mathrm {Bi} (z)={\frac {1}{3^{1/6}\cdot \Gamma ({\tfrac {2}{3}})}}\cdot \,{}_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {2}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)+{\frac {3^{1/6}\cdot z}{\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}}\cdot \,{}_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {4}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)}$

• Für ${\displaystyle x>0}$ lassen sie sich auch mit der modifizierten Bessel-Funktion erster Art ${\displaystyle I}$ so darstellen:

${\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left[I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right]}$

${\displaystyle \mathrm {Bi} (x)={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right]}$

• Eine andere unendliche Integraldarstellung für ${\displaystyle \mathrm {Ai} }$ lautet

${\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\exp \left(\mathrm {i} \cdot \left(zt+{\frac {t^{3}}{3}}\right)\right)\mathrm {d} t}$

• Es gibt die Reihendarstellungen^[2]

${\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{3^{2/3}\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}(n+1)\right)}{n!}}\left(3^{1/3}z\right)^{n}\sin \left({\frac {2(n+1)\pi }{3}}\right)}$

${\displaystyle \mathrm {Bi} (z)={\frac {1}{3^{1/6}\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}(n+1)\right)}{n!}}\left(3^{1/3}z\right)^{n}\left|\sin \left({\frac {2(n+1)\pi }{3}}\right)\right|}$

${\displaystyle \mathrm {Ai} (x)}$ und ${\displaystyle \mathrm {Bi} (x)}$ sind ganze Funktionen. Sie lassen sich also auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortsetzen.

${\displaystyle \Re \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle \Im \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle |\mathrm {Ai} (x+iy)|\,}$	${\displaystyle \mathrm {arg} \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]\,}$

${\displaystyle \Re \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle \Im \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle |\mathrm {Bi} (x+iy)|\,}$	${\displaystyle \mathrm {arg} \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]\,}$

Definiere

${\displaystyle T_{n}(t,\alpha )=t^{n}{}_{2}F_{1}\left(-{\frac {n}{2}},{\frac {1-n}{2}};1-n;-{\frac {4\alpha }{t^{2}}}\right)}$

wobei ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ die hypergeometrische Funktion ist. Dann gibt es folgende Verallgemeinerungen des Airy-Integrals

${\displaystyle \operatorname {Ci} _{n}(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\cos(T_{n}(t,\alpha ))\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \operatorname {Si} _{n}(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\sin(T_{n}(t,\alpha ))\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \operatorname {Ei} _{n}(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\exp(-T_{n}(t,\alpha ))\mathrm {d} t}$

Zu der Airy-Funktion lässt sich analog zu den anderen Zeta-Funktionen die Airysche Zeta-Funktion definieren als^[3]

${\displaystyle Z(n)=\sum _{r}{\frac {1}{r^{n}}},}$

wobei die Summe über die reellen (negativen) Nullstellen von ${\displaystyle \mathrm {Ai} }$ geht.

Manchmal werden auch die beiden weiteren Funktionen ${\displaystyle \mathrm {Gi} (x)}$ und ${\displaystyle \mathrm {Hi} (x)}$ zu den Airy-Funktionen dazugerechnet. Die Integral-Definitionen lauten^[4]

${\displaystyle \mathrm {Gi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \mathrm {Hi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\mathrm {d} t}$

Sie lassen sich auch durch die Funktionen ${\displaystyle \mathrm {Ai} }$ und ${\displaystyle \mathrm {Bi} }$ darstellen.

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (siehe §10.4). National Bureau of Standards, 1954.
• George Biddell Airy: On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Band 6, 1838, S. 379–402.
• Frank Olver: Asymptotics and Special Functions. Chapter 11. Academic Press, New York 1974.

• Eric W. Weisstein: Airy Functions. In: MathWorld (englisch).
• Bessel-Type Functions. Wolfram Funktionenseite.
• Chapter 9: Airy and related functions. In: Digital Library of Mathematical Functions.

1. ↑ Eric W. Weisstein: Airy Function Zeros. In: MathWorld (englisch).
2. ↑ C. Banderier, P. Flajolet, G. Schaeffer, M. Soria: Planar Maps and Airy Phenomena. In Automata, Languages and Programming. Proceedings of the 27th International Colloquium (ICALP 2000) held at the University of Geneva, Geneva, 9.–15. Juli 2000 (Ed. U. Montanari, J. D. P. Rolim, E. Welzl). Berlin: Springer, S. 388–402, 2000
3. ↑ Eric W. Weisstein: Airy Zeta Function. In: MathWorld (englisch).
4. ↑ Milton Abramowitz und Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1954, Seite 447