Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen

${\displaystyle (x+y)^{n},\quad n\in \mathbb {N} }$

als Polynom ${\displaystyle n}$-ten Grades in den Variablen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ auszudrücken. Die Bezeichnung rührt vom Ausdruck Binom, welches hier ${\displaystyle x+y}$ ist.

Für alle Elemente ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ gilt

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\quad (1)}$

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ (mit der Konvention ${\displaystyle 0^{0}=1}$).

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n\cdot (n-1)\dotsm (n-k+1)}{1\cdot 2\dotsm k}}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot {k!}}}}$,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit ${\displaystyle n!=1\cdot 2\dotsm n}$ ist hierbei die Fakultät von ${\displaystyle n}$ bezeichnet.

Die Terme ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}}$ sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ an das Ringelement ${\displaystyle x^{n-k}y^{k}}$ aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul benutzt.

Der binomische Lehrsatz für den Fall ${\displaystyle n=2}$ heißt erste binomische Formel.

• Der binomische Lehrsatz gilt auch für Elemente ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ in beliebigen unitären Ringen, sofern nur diese Elemente miteinander kommutieren, d. h. ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$ gilt.
• Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:

${\displaystyle (x+y)^{n}=x^{n}+\left(\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\right)+y^{n}}$.

• Für mehr als zwei Summanden gibt es das Multinomialtheorem.

Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ kann unter Ausnutzung der algebraischen Eigenschaften von Binomialkoeffizienten durch vollständige Induktion erbracht werden.^[1] Anhand der kombinatorischen Deutung der Binomialkoeffizienten ergibt sich auch ein einfacher Abzählbeweis.^[2] Für jedes konkrete ${\displaystyle n}$ kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

${\displaystyle (x+y)^{0}={\binom {0}{0}}=1}$

${\displaystyle (x+y)^{1}={\binom {1}{0}}\,x+{\binom {1}{1}}\,y=x+y}$

${\displaystyle (x+y)^{2}={\binom {2}{0}}\,x^{2}+{\binom {2}{1}}\,xy+{\binom {2}{2}}\,y^{2}=x^{2}+2\,xy+y^{2}}$

${\displaystyle (x+y)^{3}={\binom {3}{0}}\,x^{3}+{\binom {3}{1}}\,x^{2}y+{\binom {3}{2}}\,xy^{2}+{\binom {3}{3}}\,y^{3}=x^{3}+3\,x^{2}y+3\,xy^{2}+y^{3}}$

${\displaystyle (x+y)^{4}={\binom {4}{0}}\,x^{4}+{\binom {4}{1}}\,x^{3}y+{\binom {4}{2}}\,x^{2}y^{2}+{\binom {4}{3}}\,xy^{3}+{\binom {4}{4}}\,y^{4}=x^{4}+4\,x^{3}y+6\,x^{2}y^{2}+4\,xy^{3}+y^{4}}$

${\displaystyle (x-y)^{3}={\binom {3}{0}}\,x^{3}+{\binom {3}{1}}\,x^{2}(-y)+{\binom {3}{2}}\,x(-y)^{2}+{\binom {3}{3}}\,(-y)^{3}=x^{3}-3\,x^{2}y+3\,xy^{2}-y^{3}}$

${\displaystyle {\big (}a+ib{\big )}^{n}=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}i^{k}=\sum _{k=0, \atop k{\text{ gerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k}{2}}a^{n-k}b^{k}+\mathrm {i} \sum _{k=1, \atop k{\text{ ungerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}a^{n-k}b^{k}}$, wobei ${\displaystyle i}$ die imaginäre Einheit ist.

Eine Verallgemeinerung des Satzes auf beliebige reelle Exponenten ${\displaystyle \alpha }$ mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn ${\displaystyle \alpha }$ eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lässt sich mithilfe der verallgemeinerten Binomialkoeffizienten ${\displaystyle {\tbinom {\alpha }{k}}}$ kompakt schreiben als

${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=x^{\alpha }\left(1+{\tfrac {y}{x}}\right)^{\alpha }=x^{\alpha }\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{\alpha -k}y^{k}\quad (2)}$

Diese Reihe heißt binomische Reihe und konvergiert für alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle x>0}$ und ${\displaystyle \left|{\tfrac {y}{x}}\right|<1}$.

Im Spezialfall ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} }$ geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {C} }$ gültig, da die Reihe dann abbricht.

Für die komplexen Zahlen kann der binomische Lehrsatz mit dem Moivreschen Satz kombiniert werden, um Mehrwinkelformeln für Sinus und Kosinus zu erhalten. Nach dem Moivreschen Satz gilt:

${\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}}$

Mit dem binomischen Lehrsatz kann der Ausdruck auf der rechten Seite erweitert werden. Anschließend können der Realteil und der Imaginärteil verwendet werden, um die Formeln für ${\displaystyle \cos \left(nx\right)}$ und ${\displaystyle \sin \left(nx\right)}$ zu erhalten. Beispielsweise gilt

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x)}$

De Moivres Formel identifiziert die linke Seite jedoch mit ${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)}$, also gilt

${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x}$

${\displaystyle \sin(2x)=2\cos x\sin x}$

Dies sind die Doppelwinkelfunktionen.

Allgemein gilt

${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ gerade}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}$

${\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ ungerade}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}$

Die Zahl ${\displaystyle e}$ wird oft als folgender Grenzwert definiert

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Wendet man den binomischen Lehrsatz auf diesen Ausdruck an, erhält man die übliche unendliche Reihe für ${\displaystyle e}$:

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{\binom {n}{1}}{\frac {1}{n}}+{\binom {n}{2}}{\frac {1}{n^{2}}}+{\binom {n}{3}}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{\binom {n}{n}}{\frac {1}{n^{n}}}}$

Der ${\displaystyle k}$-te Ausdruck dieser Summe ist

${\displaystyle {\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}$

Für ${\displaystyle n}$ gegen unendlich nähert sich der rationale Ausdruck auf der rechten Seite 1, und daher gilt

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}}$

Dies zeigt, dass ${\displaystyle e}$ als Reihe geschrieben werden kann:

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots }$

Da jeder Ausdruck der Binomialentwicklung eine monoton wachsende Funktion von ${\displaystyle n}$ ist, folgt aus dem Satz der monotonen Konvergenz für Reihen, dass die Summe dieser unendlichen Reihe gleich ${\displaystyle e}$ ist.

Gelegentlich wird als wissenschaftlicher Witz die Entdeckung oder Erfindung des binomischen Lehrsatzes einem Herrn Binomi zugeschrieben.^[3]

• M. Barner, F. Flohr: Analysis I, de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6, S. 26
• Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer, 2007, ISBN 978-3-8351-0216-3, S. 52-55
• Thomas Koshy: Catalan Numbers with Applications. Oxford University Press, 2009, ISBN 978-0-19-533454-8, S. 28-36
• Stefan Hildebrandt: Analysis. Springer, 2013, ISBN 978-3-662-05694-3, S. 29-31

• Binomischer Lehrsatz (Eigenschaften von Binomiakoeffizoenten und Beweis des Satzes per Induktion)
• Binomischer Lehrsatz (Video, kombinatorischer Beweis)
• Eric W. Weisstein: Binomial Theorem. In: MathWorld (englisch).
• The Binomial Theorem bei Khan Academy (Video, englisch)

1. ↑ Stefan Hildebrandt: Analysis. Springer, 2013, ISBN 978-3-662-05694-3, S. 29-31
2. ↑ Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer, 2007, ISBN 978-3-8351-0216-3, S. 52-55
3. ↑ zum Beispiel in: Otto Forster und Florian Lindemann: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 13. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2023, S. 456.