Überlagerung (Topologie)

Die Überlagerung eines topologischen Raums ${\displaystyle X}$ ist eine stetige Abbildung ${\displaystyle \pi \colon E\rightarrow X}$ mit speziellen Eigenschaften.

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum. Eine Überlagerung von ${\displaystyle X}$ ist eine stetige surjektive Abbildung

${\displaystyle \pi \colon E\rightarrow X}$,

sodass es einen diskreten Raum ${\displaystyle D}$ gibt und für jedes ${\displaystyle x\in X}$ eine offene Umgebung ${\displaystyle U\subset X}$ gibt, sodass

${\displaystyle \pi ^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{d\in D}V_{d}}$

und die Abbildung ${\displaystyle \pi |_{V_{d}}\colon V_{d}\rightarrow U}$ für jedes ${\displaystyle d\in D}$ ein Homöomorphismus ist.

Oft wird der Begriff der Überlagerung auch für den Überlagerungsraum ${\displaystyle E}$ benutzt. Die offenen Mengen ${\displaystyle V_{d}}$ werden Blätter genannt und sind, vorausgesetzt die offene Umgebung ${\displaystyle U}$ ist zusammenhängend, eindeutig durch ${\displaystyle U}$ bestimmt.^[1] ${\displaystyle ^{S.56}}$ Für ein ${\displaystyle x\in U}$ heißt die diskrete Teilmenge ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$ die Faser von ${\displaystyle x}$. Der Grad der Überlagerung ist die Kardinalität des Raumes ${\displaystyle D}$. Im Falle eines endlichen Grades spricht man von einer endlichen Überlagerung. Ist ${\displaystyle E}$ wegzusammenhängend, so wird ${\displaystyle \pi }$ als wegzusammenhängende Überlagerung bezeichnet.

• Für jeden topologischen Raum ${\displaystyle X}$ existiert die triviale Überlagerung ${\displaystyle \pi \colon X\rightarrow X}$ mit ${\displaystyle \pi (x)=x}$.

• Die Abbildung ${\displaystyle r\colon \mathbb {R} \to S^{1}}$ mit ${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ist eine (nicht triviale) Überlagerung des Einheitskreises ${\displaystyle S^{1}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Hierbei gilt beispielsweise für eine offene Umgebung ${\displaystyle U}$ eines ${\displaystyle x\in S^{1}}$ mit positivem ${\displaystyle \cos(2\pi t)}$-Wert: ${\displaystyle r^{-1}(U)\subset \displaystyle \bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }(n-{\tfrac {1}{4}},n+{\tfrac {1}{4}})}$.

• Für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ist die Abbildung ${\displaystyle q\colon S^{1}\to S^{1}}$ mit ${\displaystyle q(z)=z^{n}}$ eine weitere Überlagerung des Einheitskreises. Für eine offene Umgebung ${\displaystyle U}$ eines ${\displaystyle z\in S^{1}}$ gilt: ${\displaystyle q^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{i=1}^{n}U}$.

• Ein Gegenbeispiel, welches zwar ein lokaler Homöomorphismus aber keine Überlagerung des Einheitskreises ist, ist die Abbildung ${\displaystyle p\colon \mathbb {R_{+}} \to S^{1}}$ mit ${\displaystyle p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$. Hierbei wird ein Blatt von ${\displaystyle p^{-1}(U)}$, wobei ${\displaystyle U}$ eine offene Umgebung von ${\displaystyle (1,0)}$ ist, nicht homöomorph unter ${\displaystyle p}$ auf ${\displaystyle U}$ abgebildet.

Da eine Überlagerung ${\displaystyle \pi \colon E\rightarrow X}$ die paarweise disjunkten, offenen Mengen von ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ jeweils homöomorph auf die offene Menge ${\displaystyle U}$ abbildet, ist sie ein lokaler Homöomorphismus, i.e. ${\displaystyle \pi }$ ist eine stetige Abbildung, sodass für jedes ${\displaystyle e\in E}$ eine offene Umgebung ${\displaystyle V\subset E}$ existiert, sodass ${\displaystyle \pi |_{V}\colon V\rightarrow \pi (V)}$ ein Homöomorphismus ist. Daraus folgt, dass der Überlagerungsraum und der Ausgangsraum lokal die gleichen Eigenschaften haben:

• Ist ${\displaystyle X}$ eine zusammenhängende und nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit, dann gibt es eine zusammenhängende Überlagerung ${\displaystyle \pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X}$, wobei ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ eine zusammenhängende und orientierbare Mannigfaltigkeit ist.^[1] ${\displaystyle ^{S.234}}$
• Ist ${\displaystyle X}$ eine zusammenhängende Lie-Gruppe, so gibt es einen Lie-Gruppen-Homomorphismus ${\displaystyle \pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X}$, mit ${\displaystyle {\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ ist ein Weg in X mit }}\gamma (0)={\boldsymbol {1_{X}}}\}/{\text{ Homotopie mit festen Enden}}}$, der gleichzeitig eine Überlagerung ist.^[2] ${\displaystyle ^{S.174}}$
• Ist ${\displaystyle X}$ ein Graph, dann gilt für eine Überlagerung ${\displaystyle \pi :E\rightarrow X}$, dass ${\displaystyle E}$ auch ein Graph ist.^[1] ${\displaystyle ^{S.85}}$
• Ist ${\displaystyle X}$ eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit, dann gibt es eine Überlagerung ${\displaystyle \pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X}$, wobei ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ eine zusammenhängende und einfach-zusammenhängende Mannigfaltigkeit ist.^[3] ${\displaystyle ^{S.32}}$
• Ist ${\displaystyle X}$ eine zusammenhängende Riemannsche Fläche, dann gibt es eine holomorphe Abbildung^[3] ${\displaystyle ^{S.22}}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$, welche gleichzeitig eine Überlagerung ist und ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ist eine zusammenhängende und einfach-zusammenhängende Riemannsche Fläche.^[3] ${\displaystyle ^{S.32}}$

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle X'}$ topologische Räume und ${\displaystyle p\colon E\rightarrow X}$ und ${\displaystyle p'\colon E'\rightarrow X'}$ Überlagerungen, dann ist ${\displaystyle p\times p':E\times E'\rightarrow X\times X'}$ mit ${\displaystyle (p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))}$ eine Überlagerung von ${\displaystyle X\times X'}$.^[4]

Seien ${\displaystyle p,q}$ und ${\displaystyle r}$ stetige Abbildung, sodass das Diagram

kommutiert.

• Sind ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ Überlagerung, so auch ${\displaystyle r}$.^[5]
• Sind ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle r}$ Überlagerung, so auch ${\displaystyle q}$.^[5]

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle p\colon E\rightarrow X}$ und ${\displaystyle p'\colon E'\rightarrow X}$ Überlagerungen. Die Überlagerungen sind zueinander äquivalent, wenn es einen Homöomorphismus ${\displaystyle h\colon E\rightarrow E'}$ gibt, sodass das Diagramm

kommutiert. Solch ein Homöomorphismus wird auch als ein Isomorphismus zwischen Überlagerungsräumen bezeichnet.

Eine wichtige Eigenschaft der Überlagerung ist, dass sie die Hochhebungseigenschaft erfüllt:

Sei ${\displaystyle I}$ das Einheitsintervall ${\displaystyle [0,1]}$ und ${\displaystyle p\colon E\rightarrow X}$ eine zusammenhängende Überlagerung. Sei ${\displaystyle F\colon Y\times I\rightarrow X}$ eine stetige Abbildung und ${\displaystyle {\tilde {F}}\colon Y\times \{0\}\rightarrow E}$ ein Lift von ${\displaystyle F|_{Y\times \{0\}}}$, i.e. eine stetige Abbildung, sodass ${\displaystyle p\circ {\tilde {F}}=F|_{Y\times \{0\}}}$, dann gibt es eine eindeutig definierte, stetige Abbildung ${\displaystyle {\tilde {F}}\colon Y\times I\rightarrow E}$, welche ${\displaystyle F}$ hochhebt (liftet), i. e. ${\displaystyle p\circ {\tilde {F}}=F}$.^[1] ${\displaystyle ^{S.60}}$

Ist ${\displaystyle X}$ ein wegzusammenhängender Raum, so ist für ${\displaystyle Y=\{0\}}$ die Abbildung ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ die Hochhebung eines Weges in ${\displaystyle X}$ und für ${\displaystyle Y=I}$ die Hochhebung einer Homotopie von Wegen in ${\displaystyle X}$.

Mithilfe der Hochhebungseigenschaft lässt sich beispielsweise zeigen, dass die Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})}$ des Einheitskreises eine unendliche, zyklische Gruppe ist, welche von der Homotopieklasse der Schleife ${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow S^{1}}$ mit ${\displaystyle \gamma (t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ erzeugt wird.^[1] ${\displaystyle ^{S.29}}$

Ist ${\displaystyle X}$ ein wegzusammenhängender Raum und ${\displaystyle p\colon E\rightarrow X}$ eine zusammenhängende Überlagerung, so gilt für je zwei Punkte ${\displaystyle x,y\in X}$, die durch einen Weg ${\displaystyle \gamma }$ verbunden sind, dass man durch die Hochhebung ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ von ${\displaystyle \gamma }$ eine bijektive Abbildung

${\displaystyle L_{\gamma }\colon p^{-1}(x)\rightarrow p^{-1}(y)}$, ${\displaystyle \quad L_{\gamma }({\tilde {\gamma }}(0))={\tilde {\gamma }}(1)}$

zwischen den Fasern von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ erhält.^[1] ${\displaystyle ^{S.69}}$

Ist ${\displaystyle X}$ ein wegzusammenhängender Raum und ${\displaystyle p\colon E\rightarrow X}$ eine zusammenhängende Überlagerung, dann ist der durch ${\displaystyle p}$ induzierte Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle p_{\#}\colon \pi _{1}(E)\rightarrow \pi _{1}(X)}$ mit ${\displaystyle p_{\#}([\gamma ])=[p\circ \gamma ]}$

injektiv. Die Elemente der Untergruppe ${\displaystyle p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ sind die Homotopieklassen der geschlossenen Wegen in ${\displaystyle X}$, deren Hochhebung geschlossene Wege in ${\displaystyle E}$ sind.^[1] ${\displaystyle ^{S.61}}$

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Riemannsche Flächen, i.e. ein-dimensionale, komplexe Mannigfaltigkeiten und ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ eine stetige Abbildung. Die Abbildung ${\displaystyle f}$ ist holomorph in einem Punkt ${\displaystyle x\in X}$, wenn für jede Karte ${\displaystyle \phi _{x}:U_{1}\rightarrow V_{1}}$ von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle \phi _{f(x)}\colon U_{2}\rightarrow V_{2}}$ von ${\displaystyle f(x)}$, mit ${\displaystyle \phi _{x}(U_{1})\subset U_{2}}$, die Abbildung ${\displaystyle \phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ holomorph ist.

${\displaystyle f}$ ist holomorph, wenn ${\displaystyle f}$ auf ganz ${\displaystyle X}$ holomorph ist.

Die Funktion ${\displaystyle F=\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}}$ heißt die lokale Darstellung von ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x\in X}$.

Ist ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ eine nicht-konstante, holomorphe Abbildung zwischen kompakten Riemannschen Flächen, dann ist ${\displaystyle f}$ surjektiv^[3] ${\displaystyle ^{S.11}}$ und eine offene Abbildung^[3] ${\displaystyle ^{S.11}}$, d. h. für jede offene Menge ${\displaystyle U\subset X}$ ist das Bild ${\displaystyle f(U)}$ ebenfalls offen.

Sei ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ eine nicht-konstante, holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen. Für jedes ${\displaystyle x\in X}$ gibt es Karten für ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle f(x)}$ und es existiert ein ${\displaystyle k_{x}\in \mathbb {N_{>0}} }$, sodass die lokale Darstellung von ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x}$ von der Form ${\displaystyle z\mapsto z^{k_{x}}}$ ist.^[3] ${\displaystyle ^{S.10}}$ Dieses ${\displaystyle k_{x}\in \mathbb {N} }$ wird als Verzweigungsindex von ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x}$ bezeichnet. Ein Punkt ${\displaystyle y=f(x)\in Y}$ heißt Verzweigungspunkt von ${\displaystyle f}$, wenn ${\displaystyle k_{x}\geq 2}$.

Der Grad ${\displaystyle deg(f)}$ einer nicht-konstante, holomorphe Abbildung ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ zwischen kompakten Riemannschen Flächen ist die Kardinalität der Faser eines nicht-Verzweigungspunktes ${\displaystyle y\in Y}$, i. e. ${\displaystyle deg(f):=|f^{-1}(y)|}$.

Diese Zahl ist endlich, da für jedes ${\displaystyle y\in Y}$ die Faser ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ diskret ist^[3] ${\displaystyle ^{S.20}}$ und sie ist wohldefiniert, da für je zwei ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in Y}$, welche keine Verzweigungspunkte sind, gilt: ${\displaystyle |f^{-1}(y_{1})|=|f^{-1}(y_{2})|}$.^[3] ${\displaystyle ^{S.29}}$

Für ${\displaystyle deg(f)=d}$ gilt:

${\displaystyle \sum _{x\in f^{-1}(y)}k_{x}=d}$ ^[3] ${\displaystyle ^{S.29}}$

Eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ wird verzweigte Überlagerung genannt, wenn es eine abgeschlossene Menge ${\displaystyle E\subset Y}$ mit dichtem Komplement gibt, sodass ${\displaystyle f_{|X\smallsetminus f^{-1}(E)}\colon X\smallsetminus f^{-1}(E)\rightarrow Y\smallsetminus E}$ eine Überlagerung ist.

• Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle n\geq 2}$, dann ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle f(z)=z^{n}}$ ist eine ${\displaystyle n}$-fache verzweigte Überlagerung von ${\displaystyle \mathbb {C} }$, wobei ${\displaystyle z=0}$ ein Verzweigungspunkt ist.
• Jede nicht-konstante, holomorphe Abbildung ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ zwischen kompakten Riemannschen Flächen vom Grad ${\displaystyle d}$ ist eine verzweigte ${\displaystyle d}$-fache Überlagerung.

Sei ${\displaystyle p\colon {\tilde {X}}\rightarrow X}$ eine einfach-zusammenhängende Überlagerung und ${\displaystyle \beta \colon E\rightarrow X}$ eine Überlagerung, dann existiert eine eindeutig definierte Überlagerung ${\displaystyle \alpha \colon {\tilde {X}}\rightarrow E}$, sodass das Diagramm

kommutiert.^[6]

Sei ${\displaystyle p\colon {\tilde {X}}\rightarrow X}$ eine einfach-zusammenhängende Überlagerung. Ist ${\displaystyle \beta \colon E\rightarrow X}$ eine weitere einfach-zusammenhängende Überlagerung von ${\displaystyle X}$, dann existiert ein eindeutig definierter Homöomorphismus ${\displaystyle \alpha \colon {\tilde {X}}\rightarrow E}$, der das Diagramm

kommutieren lässt.^[7] Damit ist ${\displaystyle p}$ bis auf Isomorphismen zwischen Überlagerungsräumen eindeutig bestimmt und wird aufgrund dieser universellen Eigenschaft die universelle Überlagerung von ${\displaystyle X}$ genannt.

Die folgenden Kriterien garantieren die Existenz der universellen Überlagerung, da diese nicht für alle topologischen Räume existiert:

Sei ${\displaystyle X}$ zusammenhängend und lokal einfach-zusammenhängend, dann gibt es eine universelle Überlagerung ${\displaystyle p\colon {\tilde {X}}\rightarrow X}$.

${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ist definiert als ${\displaystyle {\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ ist ein Weg in }}X{\text{ mit }}\gamma (0)=x_{0}\}/{\text{ Homotopie mit festen Enden}}}$ und ${\displaystyle p\colon {\tilde {X}}\rightarrow X}$ als ${\displaystyle p([\gamma ])=\gamma (1)}$.^[1] ${\displaystyle ^{S.64}}$

Die Topologie auf ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ erhält man wie folgt: Für ein Weg ${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$ mit ${\displaystyle \gamma (0)=x_{0}}$ besitzt der Endpunkt ${\displaystyle x}$ eine einfach-zusammenhängende Umgebung ${\displaystyle U}$, in der für jedes ${\displaystyle y\in U}$ die Wege ${\displaystyle \sigma _{y}}$ in ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ nach ${\displaystyle y}$ bis auf Homotopie eindeutig definiert sind. Setzt man ${\displaystyle {\tilde {U}}:=\{\gamma .\sigma _{y}:y\in U\}/{\text{ Homotopie mit festen Enden}}}$, so ist ${\displaystyle p_{|{\tilde {U}}}\colon {\tilde {U}}\rightarrow U}$ mit ${\displaystyle p([\gamma .\sigma _{y}])=\gamma .\sigma _{y}(1)=y}$ eine Bijektion und ${\displaystyle {\tilde {U}}}$ kann mit der Finaltopologie von ${\displaystyle p_{|{\tilde {U}}}}$ versehen werden.

Die Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\Gamma }$ operiert durch ${\displaystyle ([\gamma ],[{\tilde {x}}])\mapsto [\gamma .{\tilde {x}}]}$ frei auf ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ und ${\displaystyle \psi \colon \Gamma \backslash {\tilde {X}}\rightarrow X\colon \Gamma {\tilde {x}}\mapsto {\tilde {x}}(1)}$ ist ein Homöomorphismus, i. e. ${\displaystyle \Gamma \backslash {\tilde {X}}\cong X.}$

• ${\displaystyle r\colon \mathbb {R} \to S^{1}}$ mit ${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ist die universelle Überlagerung der ${\displaystyle S^{1}}$.
• Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Die Abbildung ${\displaystyle p\colon S^{n}\to \mathbb {R} P^{n}\cong \{+1,-1\}\backslash S^{n}}$ mit ${\displaystyle p(x)=[x]}$ ist für ${\displaystyle n>1}$ die universelle Überlagerung des projektiven Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ .
• ${\displaystyle q\colon SU(n)\ltimes \mathbb {R} \to U(n)}$ mit ${\displaystyle q(A,t)={\begin{bmatrix}\exp(2\pi it)&0\\0&I_{n-1}\end{bmatrix}}A}$ ist die universelle Überlagerung der unitären Gruppe ${\displaystyle U(n)}$.^[8]
• Weil ${\displaystyle SU(2)\cong S^{3}}$, ist die Abbildung ${\displaystyle f\colon SU(2)\rightarrow \mathbb {Z_{2}} \backslash SU(2)\cong SO(3)}$ die universelle Überlagerung der ${\displaystyle SO(3)}$.
• Ein Raum, welcher keine universelle Überlagerung besitzt, ist der sogenannte Hawaiischer Ohrring

${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:{\Bigl (}x_{1}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{2}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}}$. Hierbei handelt es sich um eine abzählbare Vereinigung von Kreisen ${\displaystyle C_{n}}$ mit Radius ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{n}}}$, welche alle durch den Ursprung gehen. Es lässt sich zeigen, dass keine Umgebung des Ursprungs einfach-zusammenhängend ist.^[9]

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle p\colon E\rightarrow X}$ eine Überlagerung. Eine Decktransformation ist ein Homöomorphismus ${\displaystyle d\colon E\rightarrow E}$, sodass das Diagramm

kommutiert. Die Menge der Decktransformation bildet mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe ${\displaystyle Deck(p)}$, welche gleich der Automorphismengruppe ${\displaystyle Aut(p)}$ ist.

• Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle q\colon S^{1}\to S^{1}}$ die Überlagerung ${\displaystyle q(z)=z^{n}}$, dann ist die Abbildung ${\displaystyle d\colon S^{1}\rightarrow S^{1}:z\mapsto z\,e^{2\pi i/n}}$ eine Decktransformation und ${\displaystyle Deck(q)\cong \mathbb {Z/nZ} }$.

• Sei ${\displaystyle r\colon \mathbb {R} \to S^{1}}$ die Überlagerung ${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$, dann ist die Abbildung ${\displaystyle d_{k}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :t\mapsto t+k}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ eine Decktransformation und ${\displaystyle Deck(r)\cong \mathbb {Z} }$.

Sei ${\displaystyle X}$ ein wegzusammenhängender Raum und ${\displaystyle p\colon E\rightarrow X}$ eine zusammenhängende Überlagerung. Da eine Decktransformation ${\displaystyle d\colon E\rightarrow E}$ bijektiv ist, wird jedes Element einer Faser ${\displaystyle p^{-1}(x)}$ permutiert und die Abbildung ist dadurch eindeutig definiert, wie sie einen einzelnen Punkt aus der Faser abbildet. Insbesondere fixiert nur die triviale Decktransformation, i.e. ${\displaystyle id_{E}}$, einen Punkt in der Faser.^[1] ${\displaystyle ^{S.70}}$ Damit definiert die Gruppe der Decktransformationen eine Gruppenoperation auf jeder Faser, u.z. für eine offene Umgebung ${\displaystyle U\subset X}$ eines ${\displaystyle x\in X}$ und eine offene Umgebung ${\displaystyle {\tilde {U}}\subset E}$ eines ${\displaystyle e\in p^{-1}(x)}$ gilt: ${\displaystyle Deck(p)\times E\rightarrow E:(d,{\tilde {U}})\mapsto d({\tilde {U}})}$ ist eine Gruppenoperation.

Eine Überlagerung ${\displaystyle p\colon E\rightarrow X}$ heißt normal, wenn ${\displaystyle Deck(p)\backslash E\cong X}$. Das bedeutet, dass es für jedes ${\displaystyle x\in X}$ und für je zwei ${\displaystyle e_{0},e_{1}\in p^{-1}(x)}$ eine Decktransformation ${\displaystyle d\colon E\rightarrow E}$ gibt, sodass ${\displaystyle d(e_{0})=e_{1}}$. Diese Überlagerungen werden auch regulär genannt.

Sei ${\displaystyle X}$ ein wegzusammenhängender Raum und ${\displaystyle p\colon E\rightarrow X}$ eine zusammenhängende Überlagerung. Sei ${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ eine Untergruppe von ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$, dann ist die Überlagerung ${\displaystyle p}$ genau dann normal, wenn ${\displaystyle H}$ eine normale Untergruppe von ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ist.^[1] ${\displaystyle ^{S.71}}$

Sei ${\displaystyle p\colon E\rightarrow X}$ eine normale Überlagerung und ${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$, dann ist ${\displaystyle Deck(p)\cong \pi _{1}(X)/H}$.^[1] ${\displaystyle ^{S.71}}$

Sei ${\displaystyle p\colon E\rightarrow X}$ eine wegzusammenhängende Überlagerung und ${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$, dann ist ${\displaystyle Deck(p)}$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle N(H)/H}$, wobei ${\displaystyle N(H)}$ der Normalisator von ${\displaystyle H}$ ist.^[1] ${\displaystyle ^{S.71}}$

Sei ${\displaystyle E}$ ein topologischer Raum. Eine Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ operiert diskontinuierlich auf ${\displaystyle E}$, wenn für jedes ${\displaystyle e\in E}$ und jede offene Umgebung ${\displaystyle V\subset E}$ von ${\displaystyle e}$ mit ${\displaystyle V\neq \emptyset }$ gilt, dass für jedes ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ mit ${\displaystyle \gamma V\cap V\neq \emptyset }$ folgt, dass ${\displaystyle \gamma =1}$.

Operiert nun eine Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ diskontinuierlich auf einem topologischen Raum ${\displaystyle E}$, so ist die Quotientenabbildung ${\displaystyle q\colon E\rightarrow \Gamma \backslash E}$ mit ${\displaystyle q(e)=\Gamma e}$ eine normale Überlagerung.^[1] ${\displaystyle ^{S.72}}$ Dabei ist ${\displaystyle \Gamma \backslash E=\{\Gamma e:e\in E\}}$ der Quotientenraum und ${\displaystyle \Gamma e=\{\gamma (e):\gamma \in \Gamma \}}$ die Bahn der Gruppenoperation.

• Die Überlagerung ${\displaystyle q\colon S^{1}\to S^{1}}$ mit ${\displaystyle q(z)=z^{n}}$ ist eine normale Überlagerung für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.
• Jede einfach-zusammenhängende Überlagerung ist eine normale Überlagerung.

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine Gruppe, die diskontinuierlich auf einem topologischen Raum ${\displaystyle E}$ operiert und ${\displaystyle q\colon E\rightarrow \Gamma \backslash E}$ die normale Überlagerung.

• Ist ${\displaystyle E}$ wegzusammenhängend, so gilt ${\displaystyle Deck(q)\cong \Gamma }$.^[1] ${\displaystyle ^{S.72}}$
• Ist ${\displaystyle E}$ einfach-zusammenhängend, so gilt ${\displaystyle Deck(q)\cong \pi _{1}(X)}$.^[1] ${\displaystyle ^{S.71}}$

• Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Die antipodale Abbildung ${\displaystyle g\colon S^{n}\rightarrow S^{n},g(x)=-x}$ generiert zusammen mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe ${\displaystyle D(g)\cong \mathbb {Z/2Z} }$ und induziert eine diskontinuierliche Operation ${\displaystyle D(g)\times S^{n}\rightarrow S^{n},(g,x)\mapsto g(x)}$. Hierbei gilt für den Quotientenraum ${\displaystyle \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}}$. Damit ist ${\displaystyle q\colon S^{n}\rightarrow \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}}$ eine normale Überlagerung und für ${\displaystyle n>1}$ die universelle Überlagerung und damit ${\displaystyle Deck(q)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}({\mathbb {R} P^{n}})}$ für ${\displaystyle n>1}$.
• Sei ${\displaystyle SO(3)}$ die spezielle orthogonale Gruppe, dann ist die Abbildung ${\displaystyle f\colon SU(2)\rightarrow SO(3)\cong \mathbb {Z_{2}} \backslash SU(2)}$ eine normale Überlagerung und weil ${\displaystyle SU(2)\cong S^{3}}$ ist sie die universelle Überlagerung der ${\displaystyle SO(3)}$, weshalb gilt: ${\displaystyle Deck(f)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}(SO(3))}$.
• Durch die diskontinuierliche Operation ${\displaystyle (z_{1},z_{2})*(x,y)=(z_{1}+(-1)^{z_{2}}x,z_{2}+y)}$ von ${\displaystyle \mathbb {Z^{2}} }$ auf ${\displaystyle \mathbb {R^{2}} }$, wobei ist ${\displaystyle (\mathbb {Z^{2}} ,*)}$ das semidirekte Produkt ${\displaystyle \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} }$ ist, erhält man die universelle Überlagerung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R^{2}} \rightarrow (\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} )\backslash \mathbb {R^{2}} \cong K}$ der Kleinschen Flasche ${\displaystyle K}$ und damit ${\displaystyle Deck(f)\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} \cong \pi _{1}(K)}$.
• Sei der Torus ${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$ eingebettet in ${\displaystyle \mathbb {C^{2}} }$. Dann erhält man eine durch den Homöomorphismus ${\displaystyle \alpha \colon T\rightarrow T:(e^{ix},e^{iy})\mapsto (e^{i(x+\pi )},e^{-iy})}$ induzierte diskontinuierliche Gruppenoperation ${\displaystyle G_{\alpha }\times T\rightarrow T}$, wobei ${\displaystyle G_{\alpha }\cong \mathbb {Z/2Z} }$. Damit folgt, dass die Abbildung ${\displaystyle f\colon T\rightarrow G_{\alpha }\backslash T\cong K}$ eine normale Überlagerung der Kleinschen Flasche ${\displaystyle K}$ ist und damit ${\displaystyle Deck(f)\cong \mathbb {Z/2Z} }$.
• Sei ${\displaystyle S^{3}}$ in ${\displaystyle \mathbb {C^{2}} }$ eingebettet. Da die Operation ${\displaystyle S^{3}\times \mathbb {Z/pZ} \rightarrow S^{3}:((z_{1},z_{2}),[k])\mapsto (e^{2\pi ik/p}z_{1},e^{2\pi ikq/p}z_{2})}$ diskontinuierlich ist, wobei ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$ teilerfremd sind, ist die Abbildung ${\displaystyle f\colon S^{3}\rightarrow \mathbb {Z_{p}} \backslash S^{3}=:L_{p,q}}$ eine normale Überlagerung des Linsenraumes und damit ${\displaystyle Deck(f)\cong \mathbb {Z/pZ} \cong \pi _{1}(L_{p,q})}$.

Sei ${\displaystyle X}$ ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, dann gibt es für jede Untergruppe ${\displaystyle H\subseteq \pi _{1}(X)}$ eine wegzusammenhängende Überlagerung ${\displaystyle \alpha \colon X_{H}\rightarrow X}$ mit ${\displaystyle \alpha _{\#}(\pi _{1}(X_{H}))=H}$.^[1] ${\displaystyle ^{S.66}}$ Zwei solche wegzusammenhängenden Überlagerungen ${\displaystyle p_{1}\colon E\rightarrow X}$ und ${\displaystyle p_{2}\colon E'\rightarrow X}$ sind genau dann äquivalent, wenn die Untergruppen ${\displaystyle H=p_{1\#}(\pi _{1}(E))}$ und ${\displaystyle H'=p_{2\#}(\pi _{1}(E'))}$ von ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ konjugiert zueinander sind.^[7]

Ähnlich wie beim Hauptsatz der Galoistheorie gibt es auch hier einen Zusammenhang zwischen den Untergruppen der Fundamentalgruppe und Überlagerungen des Raumes, u. z.:

Sei ${\displaystyle X}$ ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, dann gibt es, bis auf Äquivalenz von Überlagerungen, die Bijektion:

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \displaystyle \{{\text{Untergruppen von }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{wegzusammenhaengende Überlagerung }}p\colon E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\\\displaystyle \{{\text{normale Untergruppen von }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{normale Überlagerung }}p\colon E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\end{matrix}}}$

Für eine aufsteigende Sequenz ${\displaystyle \displaystyle \{{\text{e}}\}\subset H\subset G\subset \pi _{1}(X)}$ von Untergruppen, ist die Sequenz ${\displaystyle {\tilde {X}}\longrightarrow X_{H}\cong H\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X_{G}\cong G\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X\cong \pi _{1}(X)\backslash {\tilde {X}}}$

eine Sequenz von Überlagerungen. Für eine Untergruppe ${\displaystyle H\subset \pi _{1}(X)}$ vom Index ${\displaystyle \displaystyle [\pi _{1}(X):H]=d}$ ist die Überlagerung ${\displaystyle \alpha :X_{H}\rightarrow X}$ eine ${\displaystyle d}$-fache Überlagerung.

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum. Die Objekte der Kategorie ${\displaystyle {\boldsymbol {Cov(X)}}}$ sind Überlagerungen ${\displaystyle p\colon E\rightarrow X}$ und die Morphismen sind stetige Abbildungen ${\displaystyle f\colon E\rightarrow F}$, die das Diagramm

kommutieren lassen, wobei ${\displaystyle p\colon E\rightarrow X}$ und ${\displaystyle q\colon F\rightarrow X}$ Überlagerungen sind.

Sei ${\displaystyle G}$ eine topologische Gruppe. Die Kategorie ${\displaystyle {\boldsymbol {G-Menge}}}$ ist die Kategorie der Mengen welche G-Räume sind, i.e. die Objekte der Kategorie sind G-Räume. Die Morphismen der Kategorie sind G-Abbildung ${\displaystyle \phi \colon X\rightarrow Y}$ zwischen G-Räumen. Diese erfüllen, für jedes ${\displaystyle g\in G}$, die Bedingung ${\displaystyle \phi (gx)=g\,\phi (x)}$.

Sei ${\displaystyle X}$ ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, ${\displaystyle x\in X}$ und ${\displaystyle G=\pi _{1}(X,x)}$ die Fundamentalgruppe von ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle G}$ definiert durch die Hochhebung von Wegen und der Auswertung der Hochhebung am Endpunkt eine Gruppenoperation auf der Faser von Überlagerungen. Damit erhält man einen Funktor ${\displaystyle F\colon Cov(X)\longrightarrow G-Menge:p\mapsto p^{-1}(x)}$, der eine Äquivalenz von Kategorien ist.^[1] ${\displaystyle ^{S.68-70}}$

• Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge Univ. Press, Cambridge, ISBN 0-521-79160-X.
• Otto Forster: Lectures on Riemann surfaces. Springer Berlin, München 1991, ISBN 978-3-540-90617-9.
• James Munkres: Topology. Pearson, New York, NY, 2018, ISBN 978-0-13-468951-7.
• Wolfgang Kühnel: Matrizen und Lie-Gruppen. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Stuttgart, ISBN 978-3-8348-9905-7.
• Maximiliano Aguilar and Miguel Socolovsky: The Universal Covering Group of U(n) and Projective Representations. Hrsg.: International Journal of Theoretical Physics. Dezember 1999

1. ↑ ^{a b c d e f g h i j k l m n o p q} Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge Univ. Press, Cambridge, ISBN 0-521-79160-X. 
2. ↑ Wolfgang Kühnel: Matrizen und Lie-Gruppen. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Stuttgart, ISBN 978-3-8348-9905-7. 
3. ↑ ^{a b c d e f g h i} Otto Forster: lectures on riemann surfaces. Springer Berlin, München 1991, ISBN 3-540-90617-7. 
4. ↑ James Munkres: Topology. Pearson, New York 2018, ISBN 978-0-13-468951-7, S. 339 (englisch). 
5. ↑ ^{a b} James Munkres: Topology. Pearson, New York 2018, ISBN 978-0-13-468951-7, S. 485 (englisch). 
6. ↑ James Munkres: Topology. Pearson, New York 2018, ISBN 978-0-13-468951-7, S. 486 (englisch). 
7. ↑ ^{a b} James Munkres: Topology. Pearson, New York 2018, ISBN 978-0-13-468951-7, S. 482 (englisch). 
8. ↑ Maximiliano Aguilar and Miguel Socolovsky: The Universal Covering Group of U(n) and Projective Representations. Hrsg.: International Journal of Theoretical Physics. Dezember 1999, S. 5, Theorem 1. 
9. ↑ James Munkres: Topology. Pearson, New York 2018, ISBN 978-0-13-468951-7, S. 487 (englisch).