Evolute

Die Evolute einer ebenen Kurve ist

• die Bahn, auf der sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises der Kurve bewegt, wenn dieser die gesamte Kurve durchläuft.

Oder auch:

• die Hüllkurve (Enveloppe) der Normalen der gegebenen Kurve.

Evoluten stehen in engem Zusammenhang mit den Evolventen einer gegebenen Kurve, denn es gilt: Eine Kurve ist die Evolute jeder ihrer Evolventen.

Beschreibt ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}$ eine reguläre Kurve in der euklidischen Ebene, deren Krümmung nirgends 0 ist, und sind ${\displaystyle \rho (t)}$ der Krümmungskreisradius und ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ die zum Krümmungsmittelpunkt weisende Einheitsnormale, so ist

• ${\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {c}}(t)+\rho (t){\vec {n}}(t)}$

die Evolute der gegebenen Kurve.

Ist ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}}$ und ${\displaystyle {\vec {E}}=(X,Y)^{T}}$, so ist

• ${\displaystyle \displaystyle X(t)=x(t)-{\frac {y'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}}$ und

${\displaystyle \displaystyle Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}}$.

Um Eigenschaften einer regulären Kurve herzuleiten, ist es vorteilhaft, die Bogenlänge ${\displaystyle s}$ der gegebenen Kurve als Parameter zu verwenden. Denn dann gilt (s. Frenetsche Formeln) ${\displaystyle \;|{\vec {c}}'|=1\;}$ und ${\displaystyle \;{\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho \;}$. Daraus folgt für den Tangentenvektor der Evolute ${\displaystyle \;{\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;}$:

${\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\;.}$

Aus dieser Gleichung ergeben sich die folgenden Eigenschaften einer Evolute:

• Die Evolute ist in Punkten mit ${\displaystyle \rho '=0}$ nicht regulär, d. h., sie hat in Punkten maximaler oder minimaler Krümmung Spitzen (s. Parabel, Ellipse, Nephroide).
• Die Normalen der gegebenen Kurve sind Tangenten der Evolute, d. h.: Die Evolute ist die Einhüllende der Normalen der gegebenen Kurve.
• In Abschnitten der gegebenen Kurve, in denen ${\displaystyle \rho '>0}$ bzw. ${\displaystyle \rho '<0}$ gilt, ist sie eine Evolvente ihrer Evolute. (Im Bild ist die blaue Parabel eine Evolvente der roten Neilschen Parabel.)

Beweis der letzten Eigenschaft:
In dem betrachteten Abschnitt sei ${\displaystyle \rho '>0}$. Eine Evolvente der Evolute lässt sich folgendermaßen beschreiben:

${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {E}}-{\frac {{\vec {E}}'}{|{\vec {E}}'|}}\;{\Big (}\int _{0}^{s}|{\vec {E}}'(w)|\;\mathrm {d} w+l_{0}\;{\Big )}\;,}$

wobei ${\displaystyle l_{0}}$ eine Fadenverlängerung bedeutet (s. Evolvente).
Mit ${\displaystyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;,\;{\vec {E}}'=\rho '{\vec {n}}}$ und ${\displaystyle \rho '>0}$ ergibt sich

${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}-{\vec {n}}\;{\Big (}\int _{0}^{s}\rho '(w)\;\mathrm {d} w\;+l_{0}{\Big )}={\vec {c}}+(\rho (0)-l_{0})\;{\vec {n}}\;.}$

D. h., für die Fadenverlängerung ${\displaystyle l_{0}=\rho (0)}$ erhält man die gegebene Kurve wieder.

• Parallele Kurven besitzen dieselbe Evolute.

Beweis: Eine zur gegebenen Kurve im Abstand ${\displaystyle d}$ parallele Kurve besitzt die Parameterdarstellung ${\displaystyle {\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}}$ und den Krümmungsradius (s. Parallelkurve) ${\displaystyle \rho _{d}=\rho -d}$. Die Evolute der Parallelkurve ist also ${\displaystyle {\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.}$

Die Normalparabel lässt sich durch die Parameterdarstellung ${\displaystyle (t,t^{2})}$ beschreiben. Nach den obigen Formeln ergeben sich für die Evolute die folgenden Gleichungen:

${\displaystyle X=\cdots =-4t^{3}}$

${\displaystyle Y=\cdots ={\frac {1}{2}}+3t^{2}}$

Dies ist die Parameterdarstellung einer Neilschen Parabel.

Für die Ellipse mit der Parameterdarstellung ${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$ ergibt sich:^[1]

${\displaystyle X=\cdots ={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t}$

${\displaystyle Y=\cdots ={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t}$

Diese Gleichungen beschreiben eine schiefe Astroide. Elimination von ${\displaystyle t}$ liefert die implizite Darstellung

• ${\displaystyle (aX)^{\tfrac {2}{3}}+(bY)^{\tfrac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{\tfrac {2}{3}}\ .}$

• Zu einer Astroide: wiederum eine Astroide (doppelt so groß)
• Zu einer Ellipse: eine schiefe Astroide
• Zu einer Kardioide: wiederum eine Kardioide (ein Drittel so groß)
• Zu einem Kreis: ein Punkt, nämlich dessen Mittelpunkt
• Zu einer Deltoide: wiederum eine Deltoide (dreimal so groß)
• Zu einer Zykloide: eine kongruente Zykloide
• Zu einer Epizykloide: eine vergrößerte Epizykloide
• Zu einer Hypozykloide: eine ähnliche Hypozykloide
• Zu einer logarithmischen Spirale: die gleiche logarithmische Spirale
• Zu einer Nephroide: wiederum eine Nephroide (halb so groß)
• Zu einer Parabel: eine Neilsche Parabel
• Zu einer Traktrix: eine Katenoide (Kettenlinie)

1. ↑ R.Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Band 1, Springer-Verlag, 1955, S. 268.

• K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und … Springer-Verlag, 2012, ISBN 3-8348-8346-8, S. 30.
• Kleine Enzyklopädie Mathematik. Harry Deutsch Verlag, 1977, ISBN 3-87144-323-9, S. 475.

• Eric W. Weisstein: Evolute. In: MathWorld (englisch).