Fox H-Funktion

In der Mathematik ist die Fox H-Funktion ${\displaystyle H(x)}$ eine Verallgemeinerung der Meijer G-Funktion und der Fox–Wright Funktion, eingeführt von Charles Fox (1961). Die die Definition ist gegeben durch ein Mellin–Barnes-Integral

${\displaystyle H_{p,q}^{\,m,n}\!\left[z\left|{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}}\right.\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+B_{j}s)\,\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-A_{j}s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}-B_{j}s)\,\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+A_{j}s)}}z^{-s}\,ds,}$

wobei ${\displaystyle L}$ ein bestimmter Weg ist, der die Pole der beiden Faktoren im Zähler trennt.

Eine Relation der Fox H-Funktion zu den Zweig -1 der Lambertschen W-Funktion ist gegeben durch

${\displaystyle {\overline {\operatorname {W} _{-1}\left(-\alpha \cdot z\right)}}={\begin{cases}\lim _{\beta \to \alpha ^{-}}\left[{\frac {\alpha ^{2}\cdot \left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}}{\beta }}\cdot \operatorname {H} _{1,\,2}^{1,\,1}\left({\begin{matrix}\left({\frac {\alpha +\beta }{\beta }},\,{\frac {\alpha }{\beta }}\right)\\\left(0,\,1\right),\,\left(-{\frac {\alpha }{\beta }},\,{\frac {\alpha -\beta }{\beta }}\right)\\\end{matrix}}\mid -\left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{{\frac {\alpha }{\beta }}-1}\right)\right],\,{\text{falls}}\left|z\right|<{\frac {1}{e\left|\alpha \right|}}\\\lim _{\beta \to \alpha ^{-}}\left[{\frac {\alpha ^{2}\cdot \left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{-{\frac {\alpha }{\beta }}}}{\beta }}\cdot \operatorname {H} _{2,\,1}^{1,\,1}\left({\begin{matrix}\left(1,\,1\right),\,\left({\frac {\beta -\alpha }{\beta }},\,{\frac {\alpha -\beta }{\beta }}\right)\\\left(-{\frac {\alpha }{\beta }},\,{\frac {\alpha }{\beta }}\right)\\\end{matrix}}\mid -\left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\right)\right],\,{\text{andernfalls}}\\\end{cases}}}$

wobei ${\displaystyle {\overline {z}}}$ das komplex-konjugierte von ${\displaystyle z}$ ist.^[1]

Vergleich zur Meijer G-Funktion

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\,\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\,\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}\,z^{s}\,ds.}$

Der Spezialfall, für welchen die Fox H-Funktion zur Meijer G-Funktion reduziert wird, ist bei ${\displaystyle A_{j}=B_{k}=C,C>0}$ für ${\displaystyle j=1\ldots p}$ und ${\displaystyle k=1\ldots q}$.

${\displaystyle H_{p,q}^{\,m,n}\!\left[z\left|{\begin{matrix}(a_{1},C)&(a_{2},C)&\ldots &(a_{p},C)\\(b_{1},C)&(b_{2},C)&\ldots &(b_{q},C)\end{matrix}}\right.\right]={\frac {1}{C}}G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z^{1/C}\right).}$

Eine Verallgemeinerung der Fox H-Funktion ist geben von Ram Kishore Saxena^[2] und Innayat Hussain AA (1987). Für eine weitere Verallgemeinerung, welche sich in der Physik und Statistik als nützlich erweisen wie A.M.Mathai und Ram Kishore Saxena zeigten,^[3] siehe Rathie (1997).

1. ↑ Pushpa Narayan and Luan Carlos de Sena Monteiro Rathie and Ozelim: On the Relation between Lambert W-Function and Generalized. In: Researchgate. Abgerufen am 1. März 2023 (englisch, hypergeometric, functions). 
2. ↑ A. M. Mathai, R. K. Saxena: Generalized hypergeometric functions with applications in statistics and physical sciences. Springer, Berlin, New York 1973, ISBN 978-0-387-06482-6 (englisch). 
3. ↑ Mathai, A. M.: The H-function with applications in statistics and other disciplines. Wiley, New York 1978, ISBN 978-0-470-26380-8 (englisch).