Geometrische brownsche Bewegung

Die geometrische brownsche Bewegung ist ein stochastischer Prozess, der sich vom Wiener-Prozess (auch brownsche Bewegung genannt) ableitet. Sie findet vor allem in der Finanzmathematik Verwendung.

Sei ${\displaystyle W_{t}}$ eine Standard-brownsche-Bewegung, d. h. ein Wiener-Prozess. So ist

${\displaystyle S_{t}=a\exp \left[\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right]}$

eine geometrische brownsche Bewegung.

Die geometrische brownsche Bewegung ist die Lösung der stochastischen Differentialgleichung

${\displaystyle \mathrm {d} S_{t}=\mu S_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma S_{t}\,\mathrm {d} W_{t},\quad t\geq 0,\quad S_{0}=a}$

Der Parameter ${\displaystyle \mu }$ heißt dabei Drift und beschreibt die deterministische Tendenz des Prozesses. Ist ${\displaystyle \mu >0}$, so wächst der Wert von ${\displaystyle S}$ in Erwartung, ist er negativ, fällt ${\displaystyle S}$ tendenziell. Für ${\displaystyle \mu =0}$ ist ${\displaystyle S}$ ein Martingal.

Der Parameter ${\displaystyle \sigma }$ beschreibt die Volatilität und steuert den Einfluss des Zufalls auf den Prozess ${\displaystyle S}$. Ist ${\displaystyle \sigma =0}$, so verschwindet der Diffusionsterm in der obigen Differentialgleichung, übrig bleibt die gewöhnliche Differentialgleichung

${\displaystyle \mathrm {d} S(t)=\mu \,S(t)\,\mathrm {d} t,\;S(0)=a}$,

die die Exponentialfunktion ${\displaystyle S(t)=ae^{\mu t}}$ als Lösung besitzt. Deshalb kann man die geometrische brownsche Bewegung als stochastisches Pendant zur Exponentialfunktion auffassen.

Die stochastische Differentialgleichung der geometrischen brownschen Bewegung kann mit dem Exponentialansatz ${\displaystyle S_{t}=e^{X_{t}}}$ gelöst werden. Mit Hilfe der Itō-Formel ergibt sich für ${\displaystyle X_{t}=\ln(S_{t})}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} X_{t}&=\left(\mu S_{t}{\frac {\partial X_{t}}{\partial S_{t}}}+{\frac {1}{2}}(\sigma S_{t})^{2}{\frac {\partial ^{2}X_{t}}{\partial S_{t}^{2}}}\right)\mathrm {d} t&&+\sigma S_{t}{\frac {\partial X_{t}}{\partial S_{t}}}\mathrm {d} W_{t}\\&=\left(\mu S_{t}{\frac {1}{S_{t}}}-{\frac {1}{2}}(\sigma S_{t})^{2}{\frac {1}{S_{t}^{2}}}\right)\mathrm {d} t&&+\sigma S_{t}{\frac {1}{S_{t}}}\mathrm {d} W_{t}\\&=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)\mathrm {d} t&&+\sigma \mathrm {d} W_{t}\end{aligned}}}$

Es ergibt sich also

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)\mathrm {d} t+\sigma \mathrm {d} W_{t}\,,}$

und folglich nach Integration

${\displaystyle \ln(S_{t})=\ln(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\,.}$

Anschließende Exponentiation ergibt die in der Definition angegebene Formel.

Eine andere Möglichkeit, die Lösung zu bestimmen, ist die Verwendung des stochastischen Exponentials: Mit ${\displaystyle Z_{t}=\mu t+\sigma W_{t}}$ gilt ${\displaystyle S_{t}={\mathcal {E}}(Z)_{t}}$.

• Erwartungswert: für alle ${\displaystyle t\geq 0}$ gilt: ${\displaystyle \mathbb {E} (S_{t})=a\mathrm {e} ^{\mu t}}$

• Kovarianz: Für alle ${\displaystyle s,t\geq 0}$ gilt: ${\displaystyle \mathrm {Cov} (S_{s},S_{t})=a^{2}\mathrm {e} ^{\mu (t+s)}(\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}\min(t,s)}-1)}$

Insbesondere gilt also ${\displaystyle \mathrm {Var} (S_{t})=a^{2}\mathrm {e} ^{2\mu t}(\mathrm {e} ^{\sigma ^{2}t}-1)}$.

• Die geometrische brownsche Bewegung hat unabhängige multiplikative Zuwächse, d. h., für alle ${\displaystyle 0\leq t_{1}\leq t_{2}\leq \ldots \leq t_{n}}$ sind

${\displaystyle S_{t_{1}},{\frac {S_{t_{2}}}{S_{t_{1}}}},\ldots ,{\frac {S_{t_{n}}}{S_{t_{n-1}}}}}$ unabhängig.

• Verteilungsfunktion: ${\displaystyle {\tfrac {S_{t}}{a}}}$ ist logarithmisch normalverteilt mit Parametern ${\displaystyle (\mu -{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2})t}$ und ${\displaystyle \sigma ^{2}t}$.

Im Black-Scholes-Modell, dem einfachsten und am weitesten verbreiteten (zeitstetigen) finanzmathematischen Modell zur Bewertung von Optionen, wird die geometrische brownsche Bewegung als Näherung für den Preisprozess eines Basiswertes (zum Beispiel einer Aktie) herangezogen. Dazu führte die vereinfachende Annahme, dass die prozentuale Rendite über disjunkte Zeitintervalle unabhängig und normalverteilt ist. µ spielt hier die Rolle des risikofreien Zinssatzes, σ repräsentiert das Schwankungsrisiko an der Börse. Die oben erwähnte Martingaleigenschaft spielt hier eine zentrale Rolle.

• Bernt Øksendal: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, 2003, ISBN 3-540-04758-1.
• Steven E. Shreve: Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer, 2004, ISBN 0-387-40101-6.