Laguerre-Polynome

Laguerre-Polynome (benannt nach Edmond Laguerre) sind spezielle Polynome, die auf dem Intervall ${\displaystyle [0,\infty ]}$ ein orthogonales Funktionensystem bilden. Sie sind die Lösungen der laguerreschen Differentialgleichung. Eine wichtige Rolle spielen die Laguerre-Polynome in der theoretischen Physik, insbesondere in der Quantenmechanik.

Die laguerresche Differentialgleichung

${\displaystyle x\,y''(x)+(1-x)\,y'(x)+n\,y(x)=0}$,

ist eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung für ${\displaystyle x>0}$ und ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

Sie ist ein Spezialfall der Sturm-Liouville-Differentialgleichung

${\displaystyle -\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)=ny}$

Die ersten fünf Laguerre-Polynome lauten

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}(x)&=1\\L_{1}(x)&=-x+1\\L_{2}(x)&={\tfrac {1}{2}}(x^{2}-4x+2)\\L_{3}(x)&={\tfrac {1}{6}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\\L_{4}(x)&={\tfrac {1}{24}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\end{aligned}}}$

In der Physik wird üblicherweise eine Definition verwendet, nach der die Laguerre-Polynome um einen Faktor ${\displaystyle n!}$ größer sind.

Das Laguerre-Polynom ${\displaystyle L_{n+1}(x)}$ lässt sich mit den ersten beiden Polynomen

${\displaystyle L_{0}(x)=1}$

${\displaystyle L_{1}(x)=1-x}$

über die folgende Rekursionsformel berechnen

${\displaystyle (n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x).}$

Ist ${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{n,i}x^{i}=a_{n,n}x^{n}+\cdots +a_{n,1}x+a_{n,0}}$ die Darstellung des Laguerre-Polynoms, dann gilt für die Koeffizienten:

${\displaystyle na_{n,i}=(2n-1)a_{n-1,i}(x)-a_{n-1,i-1}(x)-(n-1)a_{n-2,i}}$

Des Weiteren gelten folgende Rekursionsformeln:

${\displaystyle L_{n}'(x)=L_{n-1}'(x)-L_{n-1}(x)}$,

${\displaystyle (x-n-1)L_{n}'(x)=-(n+1)L_{n+1}'(x)-(2n+2-x)L_{n}(x)+(n+1)L_{n+1}(x)}$,

${\displaystyle xL_{n}'(x)=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x)}$.

Eine explizite Formel für die Laguerre-Polynome lautet

${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}}$.

Beispiel

Es wird das Polynom ${\displaystyle L_{3}(x)}$ für ${\displaystyle n=2}$ berechnet. Also

${\displaystyle L_{3}(x)={\tfrac {1}{3}}{\big (}(4+1-x)L_{2}(x)-2L_{1}(x){\big )}}$.

Um dieses Polynom zu erhalten, ist es notwendig, das Polynom ${\displaystyle L_{2}(x)}$ für ${\displaystyle n=1}$ zu bestimmen. Es ergibt sich

${\displaystyle L_{2}(x)={\tfrac {1}{2}}{\big (}(2+1-x)L_{1}(x)-1L_{0}(x){\big )}={\tfrac {1}{2}}{\big (}(3-x)(1-x)-1{\big )}={\tfrac {1}{2}}(3-4x+x^{2}-1)={\tfrac {1}{2}}{\big (}2-4x+x^{2}{\big )}}$

Somit lautet das Polynom ${\displaystyle L_{3}(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{3}(x)&={\tfrac {1}{3}}{\big (}(4+1-x){\tfrac {1}{2}}(2-4x+x^{2})-2(1-x){\big )}={\tfrac {1}{6}}{\big (}(5-x)(2-4x+x^{2})-4+4x{\big )}\\&={\tfrac {1}{6}}(10-20x+5x^{2}-2x+4x^{2}-x^{3}-4+4x)={\tfrac {1}{6}}(6-18x+9x^{2}-x^{3}).\end{aligned}}}$

Das ${\displaystyle n}$-te Laguerre-Polynom lässt sich mit der Rodrigues-Formel wie folgt darstellen

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}x^{n}\mathrm {e} ^{-x}{\bigg )}}$

und

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-1{\bigg )}^{n}x^{n}.}$

Aus der ersten Gleichung berechnet sich das Laguerre-Polynom mit der Produktregel für höhere Ableitungen und den Identitäten ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\big (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\big )}={\big (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\big )}^{(n)}}$, ${\displaystyle \left(\mathrm {e} ^{-x}\right)^{(k)}=(-1)^{k}\mathrm {e} ^{-x}}$ sowie ${\displaystyle {\big (}x^{n}{\big )}^{(n-k)}={\tfrac {n!}{k!}}x^{k}}$ gemäß

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}(x)&={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}^{(n)}={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\big (}\mathrm {e} ^{-x}{\big )}^{(k)}{\big (}x^{n}{\big )}^{(n-k)}\\\\&={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}\mathrm {e} ^{-x}{\frac {n!}{k!}}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}.\end{aligned}}}$

Aus der zweiten Gleichung ergibt sich das Laguerre-Polynom mit dem binomischen Lehrsatz und der Identität ${\displaystyle {\big (}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\big )}^{(n-k)}x^{n}={\big (}x^{n}{\big )}^{(n-k)}={\tfrac {n!}{k!}}x^{k}}$ wie folgt

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}(x)&={\frac {1}{n!}}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-1{\bigg )}^{n}x^{n}={\frac {1}{n!}}{\bigg (}-1+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg )}^{n}x^{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg )}^{(n-k)}x^{n}\\\\&={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}{\big (}x^{n}{\big )}^{(n-k)}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}{\frac {n!}{k!}}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}.\end{aligned}}}$

Da die Laguerre-Polynome für ${\displaystyle n\to \infty }$ und/oder ${\displaystyle x\to \infty }$ divergent sind, bilden sie keinen Prähilbertraum und keinen Hilbertraum. Deshalb wird eine Gewichtsfunktion eingeführt, welche die Lösung der Differentialgleichung ungeändert lässt und welche dafür sorgt, dass die Laguerre-Polynome quadratintegrierbar werden. Unter diesen Voraussetzungen bilden die Eigenfunktionen ${\displaystyle L_{n}}$ eine Orthonormalbasis im Hilbertraum ${\displaystyle L^{2}([0,\infty ],w(x)\mathrm {d} x)}$ der quadratintegrierbaren Funktionen mit der Gewichtsfunktion ${\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x}}$. Demzufolge gilt

${\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{nm}.}$

Hierbei bedeutet ${\displaystyle \delta _{nm}}$ das Kronecker-Delta.

Beweis

Teil 1: Zunächst wird gezeigt, dass die Laguerre-Polynome mit dem Gewicht ${\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x}}$ orthogonal sind, für ${\displaystyle n\neq m}$ gilt demnach ${\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x=0.}$

Mit dem Sturm-Liouville-Operator ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)}$ ergeben sich für die Laguerre-Polynome ${\displaystyle L_{n},L_{m}}$ folgende Ausgangsgleichungen:

(1) ${\displaystyle \quad {\mathcal {L}}L_{n}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)=nL_{n}}$

und

(2) ${\displaystyle \quad {\mathcal {L}}L_{m}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)=mL_{m}}$.

Wird Gleichung (1) von links mit ${\displaystyle L_{m}}$ multipliziert und von Gleichung (2), welche ebenfalls von links mit ${\displaystyle L_{n}}$ multipliziert wird, subtrahiert, so ergeben sich die beiden Gleichungen:

(3) ${\displaystyle \quad L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}=-L_{n}\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)+L_{m}\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)}$

und

(4) ${\displaystyle \quad L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}=(m-n)L_{m}L_{n}}$.

Zunächst wird Gleichung (3) zusammengefasst. Mit der Produktregel für Ableitungen, der Term ${\displaystyle \textstyle -\mathrm {e} ^{x}}$ bleibt hierbei unberücksichtigt, ergeben sich folgende Darstellungen

${\displaystyle \textstyle L_{n}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{n}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)-\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}}$

und

${\displaystyle \textstyle L_{m}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{m}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)-\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}}$.

Auf diese Weise wird erkennbar, dass der zweite Term in beiden Ableitungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet, also:

(5) ${\displaystyle {\begin{aligned}\quad L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}&=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{n}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)+\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{m}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)\\\\&=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}x{\mathrm {e} }^{-x}\left(L_{n}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}-L_{m}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right){\bigg )}\\\\&=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}x{\mathrm {e} }^{-x}W(L_{n},L_{m}){\bigg )},\\\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle W(L_{n},L_{m})=\left|{\begin{smallmatrix}L_{n}&L_{m}\\L_{n}'&L_{m}'\end{smallmatrix}}\right|}$ die Wronski-Determinante der Funktionen ${\displaystyle L_{n},L_{m}}$ bedeutet.

Zur Berechnung der Wronski-Determinante mittels der Abelschen Identität wird die Differentialgleichung ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}y=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x\mathrm {e} ^{-x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)y=-xy''-\mathrm {e} ^{x}{\big (}x\mathrm {e} ^{-x}{\big )}'y'=-xy''-{\big (}1-x{\big )}y'=0}$ oder ${\displaystyle \textstyle y''+{\frac {1-x}{x}}y'=0}$ betrachtet, so dass eine hebbare Singularität bei ${\displaystyle x=0}$ entsteht. Die Koeffizientenmatrix des Fundamentalsystems lautet dann ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&-{\tfrac {1-x}{x}}\end{smallmatrix}}\right)}$ und deren Spur ist ${\displaystyle \mathrm {Spur} {\Bigg (}\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&-{\tfrac {1-x}{x}}\end{smallmatrix}}\right){\Bigg )}=-{\frac {1-x}{x}}}$. Somit lautet die Abelsche Identität:

${\displaystyle W(L_{n},L_{m})(x)=W(L_{n},L_{m})(0)\exp \left(\int _{0}^{x}{\bigg (}1-{\frac {1}{\xi }}{\bigg )}\mathrm {d} \xi \right)}$.

Da ${\displaystyle L_{n}}$ und ${\displaystyle L_{m}}$ linear unabhängig sind, ist ${\displaystyle W(L_{n},L_{m})(0)>0}$ – bei genauer Betrachtung ist ${\displaystyle W(L_{n},L_{m})(0)=1}$ – und es ergibt sich folgendes Resultat:

${\displaystyle {\begin{aligned}W(L_{n},L_{m})(x)&=W(L_{n},L_{m})(0)\exp \left(\int _{0}^{x}{\bigg (}1-{\frac {1}{\xi }}{\bigg )}\mathrm {d} \xi \right)=W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Bigg (}{\bigg [}\xi -\ln \xi {\bigg ]}_{0}^{x}{\Bigg )}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Big (}\xi -\ln \xi {\Big )}-\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Big (}\xi -\ln \xi {\Big )}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\exp(\xi )}{\exp(\ln \xi )}}-\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\exp(\xi )}{\exp(\ln \xi )}}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}+\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}\\&=W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}+\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}+C.\end{aligned}}}$

Die Integrationskonstante wird ${\displaystyle C=-\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}}$ gewählt und Gleichung (5) wird mit ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-x}}$ multipliziert, so dass folgt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{-x}{\big (}L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}{\big )}&=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}x{\mathrm {e} }^{-x}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}{\bigg )}\\&=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}W(L_{n},L_{m})(0){\bigg )}\end{aligned}}}$

Nach Umformen und Trennung der Variablen lautet die Gleichung nun:

${\displaystyle -\mathrm {e} ^{-x}{\big (}L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}{\big )}\mathrm {d} x=\mathrm {d} {\bigg (}W(L_{n},L_{m})(0){\bigg )}}$

Auf beiden Seiten der Gleichung stehen nun eindimensionale Pfaffsche Formen und da ${\displaystyle W(L_{n},L_{m})(0)}$ eine konstante Funktion ist, gilt ${\displaystyle \mathrm {d} {\Big (}W(L_{n},L_{m})(0){\Big )}=0}$. Für die Berechnung der verbleibenden Pfaffschen Form ist eine geeignete Parametrisierung ${\displaystyle \varphi (t)=t,\varphi (t_{0})=0,\varphi (t_{1})=\infty ,{\dot {\varphi }}(t)=1}$ zu wählen. Das Integral lautet nun:

${\displaystyle \int _{\varphi }\omega =\int _{0}^{\infty }\omega _{\varphi (t)}({\dot {\varphi }}(t))\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }w{\Big (}L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}{\Big )}\mathrm {d} t=0}$.^[1]

Demnach verschwindet das Integral längs dem Intervall ${\displaystyle [0,\infty ]}$, so dass unter Verwendung von Gleichung (4) gilt:

${\displaystyle 0=(m-n)\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{m}L_{n}\mathrm {d} t}$

Diese Bedingung kann nur erfüllt werden, wenn:

${\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\langle L_{m},L_{n}\rangle =0}$.

Teil 2: Im Folgenden wird gezeigt, dass die Laguerre-Polynome mit dem Gewicht ${\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x}}$ beschränkt sind,^[2] für ${\displaystyle n=m}$ gilt demnach ${\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\int \mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x=1}$, oder abkürzend ${\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =1}$.

Für den Beweis wird einerseits die Reihendarstellung ${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}}$ und anderseits die Rodrigues-Formel ${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}}$ benutzt. Es gilt:

${\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\int _{0}^{\infty }x^{k}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x}$.

Für ${\displaystyle n=0}$ mit ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{n=0}}{\mathrm {d} x^{n=0}}}{\big (}\mathrm {e} ^{-x}x^{0}{\big )}=\mathrm {e} ^{-x}x^{0}}$ ergibt sich:

${\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =\int _{0}^{\infty }x^{0}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{0}{\bigg )}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {d} x=-{\bigg [}\mathrm {e} ^{-x}{\bigg ]}_{0}^{\infty }=1}$.

Wird nun für ${\displaystyle n>0}$ das Laguerre-Polynom zerlegt, so folgt:

${\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\int _{0}^{\infty }x^{k}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x+{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x.}$

Durch diese Zerlegung wird der Grad des Polynoms in der Summe um 1 reduziert und in der Folge gilt ${\displaystyle \langle L_{(n-1)},L_{n}\rangle =0}$, wie in Teil 1 gezeigt. Es verbleibt somit lediglich der zweite Term, der mit partieller Integration berechnet wird, also:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle L_{n},L_{n}\rangle &={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&={\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\bigg [}x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}{\bigg ]}_{0}^{\infty }-n{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-1)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

Die Stammfunktion wurde mithilfe der Produktregel berechnet und es ergibt sich im Grenzwert ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0}x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\big (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\big )}=\sum _{k=0}^{n-1}\lim _{x\to 0}x^{n}{\frac {1}{n!}}{\binom {n}{k}}{\big (}\mathrm {e} ^{-x}{\big )}^{k}{\big (}x^{n}{\big )}^{(n-k)}=0}$. Dasselbe Resultat wird im Grenzwert ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to \infty }}$ erhalten. Da dieses Ergebnis für alle ${\displaystyle n}$ partiellen Integrationen gilt, folgt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle L_{n},L_{n}\rangle &=(-1)^{1}n{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-1)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&=(-1)^{2}n(n-1){\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-2)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-2)}}{\mathrm {d} x^{(n-2)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&\;\;\vdots \\&=(-1)^{n}n!{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-n)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-n)}}{\mathrm {d} x^{(n-n)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&={\frac {(-1)^{2n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

Mittels weiterer ${\displaystyle n}$-facher partieller Integration oder Integrationstabelle folgt ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=n!}$ und somit:

${\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =1}$.

Aus Teil 1 und Teil 2 ergibt sich:

${\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{nm}.}$

${\displaystyle \Box }$

Eine erzeugende Funktion für das Laguerre-Polynom lautet

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-t}}e^{-{\frac {tx}{1-t}}}}$

Die zugeordneten (verallgemeinerten) Laguerre-Polynome hängen mit den gewöhnlichen Laguerre-Polynomen über

${\displaystyle L_{n}^{k}(x)=(-1)^{k}\,{\frac {{\rm {d}}^{k}}{{\rm {d}}x^{k}}}\,L_{n+k}(x)\qquad k=0,1,\dotsc }$

zusammen. Ihre Rodrigues-Formel lautet

${\displaystyle L_{n}^{k}(x)={\frac {\mathrm {e} ^{x}\,x^{-k}}{n!}}\,{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\,(\mathrm {e} ^{-x}\,x^{n+k}).}$

Die zugeordneten Laguerre-Polynome erfüllen die zugeordnete Laguerre-Gleichung

${\displaystyle x\,y''(x)+(k+1-x)\,y'(x)+n\,y(x)=0,\qquad n=0,1,\dotsc }$

Die ersten zugeordneten Laguerre-Polynome lauten:

${\displaystyle L_{0}^{k}(x)=1}$

${\displaystyle L_{1}^{k}(x)=-x+k+1}$

${\displaystyle L_{2}^{k}(x)={\frac {1}{2}}\,\left[x^{2}-2\,(k+2)\,x+(k+1)(k+2)\right]}$

${\displaystyle L_{3}^{k}(x)={\frac {1}{6}}\,\left[-x^{3}+3\,(k+3)\,x^{2}-3\,(k+2)\,(k+3)\,x+(k+1)\,(k+2)\,(k+3)\right]}$

Zur Berechnung lässt sich die Rekursionsformel

${\displaystyle (n+1)L_{n+1}^{k}(x)=(2n+1+k-x)L_{n}^{k}(x)-(n+k)L_{n-1}^{k}(x)}$

verwenden.

Der Sturm-Liouville-Operator lautet

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x^{k+1}\mathrm {e} ^{-x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)}$

und mit der Gewichtsfunktion ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-x}}$ gilt:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{k}L_{m}^{k}(x)L_{n}^{k}(x)\mathrm {d} x=0\qquad m\neq n}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{k}\left(L_{n}^{k}(x)\right)^{2}\mathrm {d} x={\frac {\Gamma (n+k+1)}{n!}}\qquad n=0,1,\dotsc }$

Zugeordnete Laguerre-Polynome lassen sich als Wegintegrale ausdrücken:

${\displaystyle L_{n}^{k}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {xt}{1-t}}}}{(1-t)^{k+1}\,t^{n+1}}}\;dt,}$

Dabei ist ${\displaystyle C}$ ein Weg, der den Ursprung einmal im Gegenuhrzeigersinn umrundet und die wesentliche Singularität bei 1 nicht einschließt.

• Asymptotische Entwicklungen vom Plancherel-Rotach-Typ

Die Laguerre-Polynome haben eine Anwendung in der Quantenmechanik bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom bzw. im allgemeinen Fall für ein Coulomb-Potential.^[3] Mittels der zugeordneten Laguerre-Polynome lässt sich der Radialanteil der Wellenfunktion schreiben als

${\displaystyle R_{nl}(r)=D_{nl}\,\mathrm {e} ^{-\kappa \,r}\,(2\,\kappa \,r)^{l}\,L_{n-l-1}^{2\,l+1}(2\,\kappa \,r)}$

(Normierungskonstante ${\displaystyle D_{nl}}$, charakteristische Länge ${\displaystyle \kappa }$, Hauptquantenzahl ${\displaystyle n}$, Bahndrehimpulsquantenzahl ${\displaystyle l}$). Die zugeordneten Laguerre-Polynome haben hier also eine entscheidende Rolle. Die normierte Gesamtwellenfunktion ist durch

${\displaystyle \Psi _{n,l,m}(r,\vartheta ,\varphi )={\sqrt {\frac {4\,(n-l-1)!}{(n+l)!\;n\,(na_{0}/Z)^{3}}}}\left[{\frac {2r}{na_{0}/Z}}\right]^{l}\exp {\left\{-{\frac {r}{na_{0}/Z}}\right\}}\;L_{n-l-1}^{2l+1}\left({\frac {2r}{na_{0}/Z}}\right)\;Y_{l,m}(\vartheta ,\varphi )}$

gegeben, mit der Hauptquantenzahl ${\displaystyle n}$, der Bahndrehimpulsquantenzahl ${\displaystyle l}$, der magnetischen Quantenzahl ${\displaystyle m}$, dem bohrschen Radius ${\displaystyle a_{0}}$ und der Kernladungszahl ${\displaystyle Z}$. Die Funktionen ${\displaystyle L_{n}^{l}(r)}$ sind die zugeordneten Laguerre-Polynome, ${\displaystyle Y_{l,m}(\vartheta ,\varphi )}$ die Kugelflächenfunktionen.

• Eric W. Weisstein: Laguerre Polynomial. In: MathWorld (englisch).
• Laguerre-Polynome. (Memento vom 29. Februar 2016 im Internet Archive). Bei: ipf.uni-stuttgart.de.
• Laguerre’sche Funktionen. Bei: stellarcom.org.
• Radiale Wellenfunktionen, Laguerre-Polynome. Bei: physik.uni-ulm.de.

1. ↑ Wegen der linearen Parametrisierung kann o.B.d.A. das Differential ${\displaystyle \mathrm {d} t=\mathrm {d} x}$ gewählt werden.
2. ↑ In der Physik wird statt beschränkt üblicherweise der Begriff normiert verwendet.
3. ↑ Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner 2009 (6. Auflage), Seite 352–354, ISBN 978-3-8348-0705-2