Lills Methode

Lills Methode (nach Eduard Lill) ist ein graphisches Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms.

Zu einem gegebenen Polynom ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}\ldots +a_{1}x+a_{0};\quad a_{n}\neq 0}$ werden von einem gemeinsamen Punkt ausgehend zwei Polygonzüge mit ${\displaystyle n+1}$ und ${\displaystyle n}$ Streckenabschnitten konstruiert. Enden diese in einem gemeinsamen Punkt, so ist die Gegenzahl des Tangens ihres Schnittwinkels am gemeinsamen Ausgangspunkt eine Nullstelle des Polynoms.

Der Polygonzug mit ${\displaystyle n+1}$ Strecken wird zuerst konstruiert und ergibt sich aus den Koeffizienten ${\displaystyle a_{n}\ldots a_{0}}$ des Polynoms. Zunächst sei vorausgesetzt, dass alle Koeffizienten positiv sind. Von einem beliebigen Anfangspunkt ausgehend verläuft der erste Streckenabschnitt um ${\displaystyle a_{n}}$ Längeneinheiten nach rechts, der nächste biegt dann im rechten Winkel links ab und ist ${\displaystyle a_{n-1}}$ Längeneinheiten lang. An seinem Ende biegt der nächste Streckenabschnitt erneut links ab und man setzt dies Verfahren für alle Koeffizienten fort. Man erhält so einen linksdrehenden Viererzyklus von rechts, aufwärts, links, abwärts, der jedem Koeffizienten eine dieser vier Richtungen zuordnet. Ist ein Koeffizient nun negativ, so bewegt man sich entgegen der dem Koeffizienten durch den Zyklus zugeordneten Richtung. Ist ein Koeffizient ${\displaystyle a_{k}=0}$, dann auch die Länge des zugehörigen Streckenabschnitts ${\displaystyle {\mathtt {a_{k}}}}$, und zwei aufeinander folgende Punkte des ersten Polygonzuges fallen zusammen. Die Richtung von ${\displaystyle {\mathtt {a_{k}}}}$ folgt aber formal dem Zyklus der Richtungen, und eine Gerade mit dieser Richtung ist zur Konstruktion des zweiten Polygonzuges einzuzeichnen (s. u.). Ausgehend vom Streckenabschnitt ${\displaystyle {\mathtt {a_{k-1}}}}$ hat der Streckenabschnitt ${\displaystyle {\mathtt {a_{k+1}}}}$ auch dann die übernächste (und nicht die nächste) Zyklusrichtung, wenn ${\displaystyle {\mathtt {a_{k}}}}$ die Länge ${\displaystyle 0}$ hat.

Der zweite Polygonzug wird basierend auf einem Ausgangswinkel und dem ersten Polygonzug konstruiert. Man wählt eine Gerade so, dass sie mit dem ersten Streckenabschnitt des ersten Polygons den vorgegebenen Ausgangwinkel ${\displaystyle \alpha }$ bildet. Dann schneidet man diese Gerade mit der Geraden, auf der der zweite Streckenabschnitt des ersten Polygonzugs liegt. Dieser Schnittpunkt bildet mit dem Ausgangspunkt den ersten Streckenabschnitt des zweiten Polygonzugs. In diesem Schnittpunkt errichtet man nun die Senkrechte und bestimmt deren Schnittpunkt mit der Geraden, auf der der dritte Streckenabschnitt des ersten Polygonzugs liegt, und hat damit den zweiten Streckenabschnitt des zweiten Polygonzugs erhalten. Genau dann, wenn bei der Konstruktion des zweiten Polygonzuges die ${\displaystyle n>k}$-te Gerade den ${\displaystyle (k+1)}$-ten Streckenabschnitt des ersten Polynomzuges in dessen Endpunkt schneidet, fallen zwei aufeinander folgende Punkte des zweiten Polygonzuges zusammen, sodass dessen ${\displaystyle k}$-ter Streckenabschnitt ${\displaystyle \textstyle {\mathtt {b_{k}}}}$ die Länge ${\displaystyle 0}$ hat. Da ${\displaystyle \textstyle {\mathtt {b_{k}}}}$ (formal) orthogonal zum vorangehenden Streckenabschnitt ist, ist die ${\displaystyle \textstyle {\mathtt {b_{k+1}}}}$ erzeugende Gerade nicht zur ${\displaystyle \textstyle {\mathtt {b_{k-1}}}}$ erzeugenden orthogonal, sondern (zu jener parallel und, weil beide je einen der zusammenfallenden Punkte enthalten,) mit jener identisch. Ein Beispiel für diesen Zusammenhang ist der zweite Abschnitt des zweiten Polygonzuges in der nebenstehenden Graphik „Polygonzüge und Nullstellen für das Polynom ${\displaystyle f(x)=4x^{3}+2x^{2}-2x-1}$“. Man fährt nun so fort, bis man beim letzten Streckenabschnitt des ersten Polygonzugs angelangt ist. Trifft man dort genau auf dessen Endpunkt, das heißt, der Schnittpunkt der letzten Senkrechten des zweiten Polygonzugs schneidet die Gerade, auf der der letzte Streckenabschnitt des ersten Polygonzugs liegt, genau in dessen Endpunkt, so hat man eine Nullstelle gefunden und ihr Wert entspricht die Gegenzahl des Tangens des Winkels am Ausgangspunkt. Trifft man nicht auf den Endpunkt des letzten Streckenzuges des ersten Polygonzugs, so hat man keine Nullstelle gefunden und man konstruiert daher einen neuen zweiten Polygonzug mit einem anderen Ausgangswinkel. Durch geschickte Variation des Ausgangswinkels lassen sich so theoretisch alle Nullstellen ermitteln.

Wendet man Lills Methode in einer leicht modifizierten Form auf eine normierte quadratische Funktion an, so erhält man eine Herleitung des Carlyle-Kreises (siehe dort).

Zum Beweis der Aussage im Kopftext sind im Folgenden der erste und zweite Polygonzug jeweils als Abfolge gedrehter Vektoren vereinheitlicht modelliert. Alle Aussagen zur oben beschriebenen Konstruktion der Polygonzüge lassen sich aus diesem Modell herleiten. Zentrale Beweisidee ist die Rückführbarkeit von Streckenlängen im zweiten Polygonzug auf den Funktionswert je einer Hilfsfunktion, die sich aus der Zerlegung des Ausgangspolyoms analog Horner-Schema ergibt; dies wird etwa im Mathologer-Video (s. u. Weblinks) dargestellt.

I. Der Punkt ${\displaystyle O}$ sei der Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. Ausgehend von diesem definieren die Vektoren

${\displaystyle {\vec {a}}_{k}=a_{n-k}\cdot D^{k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$

mit ${\displaystyle {\vec {a}}_{0}=OA_{0},\;{\vec {a}}_{k\geq 1}=A_{k-1}A_{k}}$ die Lage der Punkte ${\displaystyle A_{k},\;k=0,\dots ,n}$ des ersten Polygonzuges; hierbei ist ${\displaystyle D^{k}}$ die ${\displaystyle k}$-te Potenz der (als Matrix darstellbaren) Drehung um ${\displaystyle +{\tfrac {\pi }{2}}}$ und ${\displaystyle D^{0}}$ die identische Abbildung.

II. Die Hilfsfunktionen ${\displaystyle g_{k}(x)}$ erlauben wie bei Nutzung des Horner-Schemas die schrittweise Berechnung des Wertes von ${\displaystyle f(x)=g_{n}(x)}$:

${\displaystyle g_{0}(x)=a_{n}}$

${\displaystyle g_{k}(x)=x\cdot g_{k-1}(x)+a_{n-k}\;}$ für ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$

III. Ausgehend vom gemeinsamen Punkt ${\displaystyle O=B_{0}}$ definieren die Vektoren

${\displaystyle {\vec {b}}_{k}=g_{k}(x)\cdot D^{k}{\begin{pmatrix}1\\-x\end{pmatrix}}}$

mit ${\displaystyle {\vec {b}}_{k}=B_{k}B_{k+1}}$ die Lage der Punkte ${\displaystyle B_{k+1},\;k=0,\dots ,n-1}$ eines weiteren Polygonzuges. Zu zeigen ist, dass jener der zweite Polygonzug der Methode Lills ist.

(a) Mit ${\displaystyle A_{0}(a_{n}|0)}$ (nach I) und ${\displaystyle B_{1}(a_{n}|-xa_{n})}$ (nach II und III) ist für den Winkel bei ${\displaystyle O=B_{0}}$ im Dreieck ${\displaystyle B_{1}B_{0}A_{0}}$

${\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {-xa_{n}}{a_{n}}}=-x}$.

(b) Mit III sind aufeinander folgende Richtungen des betrachteten Polygonzugs orthogonal.

(c) Zu zeigen bleibt, dass jeder Punkt ${\displaystyle B_{k\geq 1}}$ auf der Gerade ${\displaystyle (A_{k-1}A_{k})}$ liegt. Dazu hinreichend ist der Nachweis der Beziehung

${\displaystyle B_{k}A_{k}=g_{k}(x)\cdot D^{k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad k=0,\dots ,n}$,

denn ${\displaystyle D^{k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ ist mit I ein Richtungsvektor dieser Gerade.

Der Induktionsanfang ${\displaystyle k=0}$ entsteht durch Einsetzen der Definition von ${\displaystyle a_{n}=g_{0}(x)}$ aus II in die rechnerische Darstellung des Vektors ${\displaystyle {\vec {a}}_{k=0}=OA_{0}=B_{0}A_{0}}$ in I. – Induktionsschluss:

${\displaystyle B_{k+1}A_{k+1}=B_{k+1}B_{k}+B_{k}A_{k}+A_{k}A_{k+1}=}$

${\displaystyle \quad -g_{k}(x)\cdot D^{k}{\begin{pmatrix}1\\-x\end{pmatrix}}+g_{k}(x)\cdot D^{k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+a_{n-(k+1)}\cdot D^{k+1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\ =}$

${\displaystyle \quad D^{k}{\begin{pmatrix}-g_{k}(x)+g_{k}(x)\\x\cdot g_{(k+1)-1}(x)+a_{n-(k+1)}\end{pmatrix}}=D^{k}{\begin{pmatrix}0\\g_{k+1}(x)\end{pmatrix}}=g_{k+1}(x)\cdot D^{k+1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$, q.e.d.

IV. Zwei Punkte ${\displaystyle B_{k}}$, ${\displaystyle A_{k}}$ fallen genau dann zusammen, wenn

${\displaystyle {\vec {0}}=B_{k}A_{k}=g_{k}(x)\cdot D^{k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\Leftrightarrow g_{k}(x)=0}$,

insbesondere ist ${\displaystyle B_{n}=A_{n}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle 0=g_{n}(x)=f(x)}$, q.e.d.

Der erste Polygonzug lässt sich für positive Koeffizienten auch mit einem Viererzyklus von Rechtsabbiegungen (statt mit Linksabbiegungen) konstruieren. Die Überlegungen zu negativen Koeffizienten, solchen mit dem Wert ${\displaystyle 0}$ und die Konstruktion des zweiten Polygonzuges entsprechen den oben beschriebenen. Ein solches Polygonzugpaar (PZP) soll im Folgenden als rechtsdrehend erzeugt bezeichnet werden, eines wie oben beschrieben konstruiertes als linksdrehend erzeugt. Zu den Koeffizienten eines Polynoms ${\displaystyle f(x)=\textstyle \sum _{k=0}^{n}a_{n-k}x^{n-k}}$ entsteht das rechtsdrehend erzeugte PZP, wie leicht einzusehen ist, aus dem linksdrehend erzeugten durch Achsenspiegelung an einer Gerade, die die (beiden PZP gemeinsame) erste Strecke des ersten Polygonzuges enthält.

Genau dann, wenn in einem rechtsdrehend erzeugten PZP ein mit dem (rechtsdrehenden) Winkel ${\displaystyle \alpha ^{*}=-\alpha }$ angelegter zweiter Polygonzug im letzten Schritt auf den Endpunkt des ersten Polygonzuges trifft, ist ${\displaystyle x=\tan \alpha ^{*}=\tan(-\alpha )}$ eine Nullstelle des Polynoms.

In einem kartesischen ${\displaystyle x,y}$-Koordinatensystem sei ${\displaystyle S}$ ist die vorausgesetzte Spiegelung an der ${\displaystyle x}$-Achse, ${\displaystyle D}$ die Drehung um ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$. Dann ist ${\displaystyle SD^{k}=D^{-k}S}$, wie folgender Induktionsschluss nach Induktionsanfang mit ${\displaystyle k=0}$ Beweist:

${\displaystyle SD^{k+1}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=SD^{k}{\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}=D^{-k}S{\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}=D^{-k}{\begin{pmatrix}-y\\-x\end{pmatrix}}=D^{-k-1}{\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}}=D^{-(k+1)}S{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

Wie im vorgelegten Hauptbeweis (für linksdrehend erzeugte PZP) lassen sich auch rechtsdrehend erzeugte PZP mit Vektoren definieren. Mit der eben bewiesenen Umformung entstehen diese Vektoren durch die vorausgesetzte Spiegelung S aus denen, die ein PZP linksdrehend erzeugen:

${\displaystyle S({\vec {a_{k}}})=a_{n-k}\cdot SD^{k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=a_{n-k}\cdot D^{-k}S{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=a_{n-k}\cdot D^{-k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$;

${\displaystyle S({\vec {b_{k}}})=g_{k}(x)\cdot SD^{k}{\begin{pmatrix}1\\-x\end{pmatrix}}=g_{k}(x)\cdot D^{-k}S{\begin{pmatrix}1\\-x\end{pmatrix}}=g_{k}(x)\cdot D^{-k}{\begin{pmatrix}1\\+x\end{pmatrix}}}$.

Im vorgelegten Hauptbeweis für linksdrehend erzeugte PZP werde nun die Drehung ${\displaystyle D}$ (überall) durch die Drehung ${\displaystyle D^{-1}=-D}$ ersetzt, außerdem in der Definition des Vektors ${\displaystyle b_{k}}$ die y-Koordinate ${\displaystyle -x}$ durch ${\displaystyle +x}$ sowie der Winkel ${\displaystyle \alpha }$ durch sein Spiegelbild ${\displaystyle S(\alpha )=-\alpha }$. Dann wird die Behauptung dieses Abschnitts bis auf die resultierenden Vorzeichenänderungen mit den dort notierten Schritten bewiesen.

Hat das Polynom

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}\ldots +a_{0}=\textstyle \sum _{k=0}^{n}a_{n-k}x^{n-k}}$

die Nullstelle ${\displaystyle x=x_{0}}$, so hat das Polynom

${\displaystyle f^{*}(x)=a_{n}x^{n}-a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}\ldots \pm a_{0}=\textstyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{n-k}x^{n-k}}$

die Nullstelle ${\displaystyle x=-x_{0}}$. Die Aussage (und eine anschauliche Durchführung der Verfahrensweise) finden sich im Mathologer video (nach 9 min 21 s endende Passage, siehe Weblink hierzu).

In einem kartesischen ${\displaystyle x,y}$-Koordinatensystem geht der Graph von ${\displaystyle f^{*}(x)}$ für ungerade ${\displaystyle n}$ durch Punktspiegelung im Ursprung, für gerade ${\displaystyle n}$ durch Achsenspiegelung an der ${\displaystyle y}$-Achse aus dem Graph von ${\displaystyle f(x)}$ hervor (wie auch umgekehrt, da genannte Abbildungen Involutionen sind). Dies motiviert die Bezeichnung von ${\displaystyle f(x)}$ und ${\displaystyle f^{*}(x)}$ als gespiegelte Polynome.

I. Zu einem ersten Beweis werden die im Hauptbeweis und dem im Beweis der Variante eingeführten Begriffe verwendet. Die Vektoren des rechtsdrehend erzeugten ersten Polygonzugs zu ${\displaystyle f}$ lassen sich in die Vektoren des linksdrehend erzeugten ersten Polygonzugs zu ${\displaystyle f^{*}}$ umformen:

${\displaystyle a_{n-k}\cdot D^{-k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=(-1)^{k}a_{n-k}\cdot D^{k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=a_{n-k}^{*}\cdot D^{k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad k=0,\dots ,n}$;

entsprechend ist der zugehörige zweite Polynomzug zu ${\displaystyle f}$ beim Argument ${\displaystyle x}$ bzw. zu ${\displaystyle f^{*}}$ beim Argument ${\displaystyle x^{*}}$:

${\displaystyle g_{k}(x)\cdot D^{-k}{\begin{pmatrix}1\\+x\end{pmatrix}}=(-1)^{k}g_{k}(x)\cdot D^{k}{\begin{pmatrix}1\\+x\end{pmatrix}}=g_{k}^{*}(x^{*})\cdot D^{k}{\begin{pmatrix}1\\-x^{*}\end{pmatrix}},\quad k=0,\dots ,n-1}$;

(auch) die beiden Darstellungen des (mit ${\displaystyle D^{k}}$) linksdrehend erzeugten zweiten Polynomzuges zu ${\displaystyle f^{*}}$ sind vektorweise kongruent. Mit ${\displaystyle g_{k=0}(x)=g_{k=0}^{*}(x)=a_{n}\neq 0}$ hat mindestens eine Gleichung der Schar nicht die Form ${\displaystyle {\vec {0}}={\vec {0}}}$, sodass mit koordinatenweiser Gleichheit der Vektoren

${\displaystyle x=-x^{*}}$,

folgt; insbesondere ist ${\displaystyle x_{0}=-x_{0}^{*}}$ für Nullstelle von ${\displaystyle f}$ bzw. ${\displaystyle f^{*}}$, wie behauptet. Weiterhin ist

${\displaystyle B_{k}A_{k}=g_{k}(x)\cdot D^{-k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=(-1)^{k}g_{k}(x)\cdot D^{k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=g_{k}^{*}(x^{*})\cdot D^{k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=B_{k}^{*}A_{k}^{*},\quad k=0,\dots ,n}$;

Vergleich der skalaren Vorfaktoren ergibt

${\displaystyle g_{k}^{*}(x^{*})=(-1)^{k}g_{k}(x)}$;

mit ${\displaystyle \pm x=\mp x^{*}}$ und ${\displaystyle g_{k=n}^{*}(x)=f^{*}(x)}$ folgen aus

${\displaystyle f^{*}(-x)=f^{*}(x^{*})=(-1)^{n}f(x)}$

die obigen Behauptungen zur Spiegelsymmetrie.

II. In der genannten Quelle wird auch ein weiterer Beweis (ohne Lills Methode) angeregt. Die behaupteten Spiegelsymmetrien folgen aus der Umformung:

${\displaystyle f^{*}(-x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{n-k}(-x)^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k+n-k}a_{n-k}x^{n-k}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}a_{n-k}x^{n-k}=(-1)^{n}f(x);}$

für Nullstellen ${\displaystyle x=x_{0}}$ ist

${\displaystyle 0=\pm f(x_{0})=f^{*}(-x_{0})}$, q.e.d.

In einem Polygonzugpaar ist jede Teilstrecke des zweiten Polygonzugs, deren Länge von ${\displaystyle 0}$ verschieden ist, Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Alle diese Dreiecke sind ähnlich.^[1] Dies gilt sowohl für die Polygonzüge der Methode Lills als auch für diejenigen der Variante.

Mit den Bezeichnungen, die im Hauptbeweis eingeführten sind, wird die Ähnlichkeit der Dreiecke ${\displaystyle B_{k+1}B_{k}A_{k},\quad k=0,\dots ,n-1}$ betrachtet. Für punktförmige Dreiecke dieser Form wird nichts behauptet; solche entstehen, wenn zwei aufeinander folgende Punkte des zweiten Polygonzugs zusammenfallen, so dass sie Endpunkte einer Teilstrecke der Länge ${\displaystyle 0}$ sind.

Mit der Darstellung im Hauptbeweis lässt sich in einem linksdrehend erzeugten Polynomzugpaar die Seite ${\displaystyle A_{k}B_{k+1}}$ eines betrachteten Dreiecks als Vektor beschreiben:

${\displaystyle A_{k}B_{k+1}=A_{k}B_{k}+B_{k}B_{k+1}=g_{k}(x)\cdot D^{k}{\biggl (}-{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\-x\end{pmatrix}}{\biggr )}=-x\cdot g_{k}(x)\cdot D^{k}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$;

mit

${\displaystyle B_{k}A_{k}=g_{k}(x)\cdot D^{k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$

ist für den Winkel bei ${\displaystyle B_{k}}$ in allen betrachteten Dreiecken

${\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {-x\cdot g_{k}(x)}{g_{k}(x)}}=-x}$.

Ferner ist in allen betrachteten Dreieck der Winkel bei ${\displaystyle A_{k}}$ nach Konstruktion ein rechter, so dass ${\displaystyle \alpha }$ spitz und durch seinen Tangens gegeben ist. Mit dem Ähnlichkeitssatz W:W:W folgt die Behauptung.

Zum Beweis der Behauptung für rechtsdrehend erzeugte Polygonzugpaare der Variante zu Lills Methode werde die Drehung ${\displaystyle D}$ (überall) durch die Drehung ${\displaystyle D^{-1}=-D}$ ersetzt, außerdem in der Definition des Vektors ${\displaystyle B_{k}B_{k+1}}$ die y-Koordinate ${\displaystyle -x}$ durch ${\displaystyle +x}$.sowie ${\displaystyle \alpha }$ durch ${\displaystyle -\alpha }$.

Für das Polynom

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n-k}x^{n-k}}$

des Kopftexts sei ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$. Dann ist das reverse Polynom

${\displaystyle f^{*}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{n-k}}$

definiert.

Ist ${\displaystyle x_{0}}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle f}$, so ist ${\displaystyle x_{0}^{*}={\tfrac {1}{x_{0}}}}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle f^{*}}$.

Ein Hinweis auf diesen Zusammenhang findet sich im Mathologer video (nach 9 min 49 s endende Passage, siehe Weblink hierzu).

Für die Hilfsfunktionen ${\displaystyle g_{k}(x)}$ zu ${\displaystyle f}$ (vgl. Hauptbeweis, II.) bzw. ${\displaystyle g_{k}^{*}(x^{*})}$ zu ${\displaystyle f^{*}}$ gilt zudem für alle ${\displaystyle 0\leq k\leq n-1}$ das Korollar:

${\displaystyle g_{k}^{*}({\tfrac {1}{x_{0}}})=-x_{0}\cdot g_{n-1-k}(x_{0})}$.

Wegen ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$ ist ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$, so dass ${\displaystyle x_{0}^{*}={\tfrac {1}{x_{0}}}}$ existiert.

Für die Nullstelle ${\displaystyle x_{0}}$ des Polynoms ${\displaystyle f}$ sei ein erster Polygonzug ${\displaystyle p_{1}:O,\ldots ,A_{n}}$ bzw. ein zweiter Polygonzug ${\displaystyle p_{2}(x_{0}):O=B_{0},\ldots ,B_{n}}$ mit den Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}_{k}}$ bzw. ${\displaystyle {\vec {b}}_{k}}$ linksdrehend erzeugt.

Dann definieren die Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}_{k}^{*}=-{\vec {a}}_{n-k}}$ bzw. ${\displaystyle {\vec {b}}_{k}^{*}=-{\vec {b}}_{n-1-k}}$ den ersten Polygonzug ${\displaystyle p_{1}^{*}:O^{*}=A_{n},\ldots ,A_{n}^{*}=O}$ bzw. zweiten Polygonzug ${\displaystyle p_{2}^{*}(x_{0}^{*}):O^{*}=B_{0}^{*}=B_{n},\ldots ,B_{n}^{*}=B_{0}=O}$ für die Nullstelle ${\displaystyle x_{0}^{*}}$ des reversen Polynoms ${\displaystyle f^{*}}$.

Die Behauptung ${\displaystyle x_{0}^{*}={\tfrac {1}{x_{0}}}}$. lässt sich mit den Eigenschaften dieser Polygonzugpaare beweisen (Beweis I.) oder (einfacher) ohne Lills Methode mit Umformung (Beweis II.).

Die Abbildung ${\displaystyle O\rightarrow O^{*}=A_{n}=B_{n},\;{\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}'=-D^{n}{\vec {x}}}$ erzeugt ein neues Koordinatensystem.

${\displaystyle p_{1}^{*}}$ ist mit

${\displaystyle {\vec {a}}_{k}^{*}=}$${\displaystyle -{\vec {a}}_{n-k}=a_{n-(n-k)}\cdot D^{n-k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=}$${\displaystyle a_{k}\cdot D^{-k}{\bigg (}-D^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\bigg )}=}$${\displaystyle a_{n-k}^{*}\cdot D^{-k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}'}$

rechtsdrehend erzeugt, da ${\displaystyle {\vec {a}}_{k+1}^{*}}$ höchstens bis auf das Vorzeichen von ${\displaystyle a_{k+1}^{*}}$ durch die Rechtsdrehung ${\displaystyle D^{-1}}$ aus ${\displaystyle {\vec {a}}_{k}^{*}}$ hervorgeht.

Für das Argument ${\displaystyle x_{0}^{*}}$ haben die Vektoren des an ${\displaystyle p_{1}^{*}}$ (ebenfalls rechtsdrehend) erzeugten zweiten Polynomzugs ${\displaystyle p_{2}^{*}(x_{0}^{*})}$ im neuen Koordinatensystem die Form

${\displaystyle {\vec {b}}_{k}^{*}=g_{k}^{*}(x_{0}^{*})\cdot D^{-k}{\begin{pmatrix}1\\x_{0}^{*}\end{pmatrix}}'}$;

die Gleichheit ${\displaystyle {\vec {b}}_{k}^{*}=-{\vec {b}}_{n-1-k}}$ hat die Koordinatendarstellung

${\displaystyle g_{k}^{*}(x_{0}^{*})\cdot D^{-k}{\begin{pmatrix}1\\x_{0}^{*}\end{pmatrix}}'=-g_{n-1-k}(x_{0})\cdot D^{n-1-k}{\begin{pmatrix}1\\-x_{0}\end{pmatrix}}}$;

mit ${\displaystyle D^{-k}{\begin{pmatrix}1\\x_{0}^{*}\end{pmatrix}}'=-D^{n-k}{\begin{pmatrix}1\\x_{0}^{*}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle -D^{n-1-k}{\begin{pmatrix}1\\-x_{0}\end{pmatrix}}=+D^{n-k}{\begin{pmatrix}+x_{0}\\+1\end{pmatrix}}}$ sowie Multiplikation von links mit ${\displaystyle -D^{k-n}}$ folgt

${\displaystyle g_{k}^{*}(x_{0}^{*})\cdot {\begin{pmatrix}1\\x_{0}^{*}\end{pmatrix}}=-g_{n-1-k}(x_{0})\cdot {\begin{pmatrix}x_{0}\\1\end{pmatrix}}}$;

mit ${\displaystyle g_{0}(x_{0})=a_{n}\neq 0}$ verschwindet mindestens ein Koeffizient nicht, also sind die beiden Vektoren kollinear. Aus

${\displaystyle \lambda {\begin{pmatrix}1\\x_{0}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}\\1\end{pmatrix}}\;\Leftrightarrow \;\lambda =x_{0}\,\land \,\lambda x_{0}^{*}=1\;\Rightarrow \;x_{0}x_{0}^{*}=1}$;

folgt mit Division durch ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$ die Behauptung. Einsetzen derselben in die Vektorgleichung der vorletzten Zeile ergibt

${\displaystyle g_{k}^{*}({\tfrac {1}{x_{0}}}){\begin{pmatrix}1\\{\tfrac {1}{x_{0}}}\end{pmatrix}}=-g_{n-1-k}(x_{0})\cdot {\begin{pmatrix}x_{0}\\1\end{pmatrix}}=-x_{0}\cdot g_{n-1-k}(x_{0})\cdot {\begin{pmatrix}1\\{\tfrac {1}{x_{0}}}\end{pmatrix}}}$;

Vergleich der Skalare zeigt das Korollar.

Wie im Abschnitt Nullstellen gespiegelter Polynome bietet sich auch hier ein einfacherer algebraischer Beweis (ohne Lills Methode) an:

${\displaystyle x_{0}^{n}\cdot f^{*}({\tfrac {1}{x_{0}}})=x_{0}^{n}\cdot \sum _{k=0}^{n}a_{k}({\tfrac {1}{x_{0}}})^{n-k}=x_{0}^{n}\cdot \sum _{k=0}^{n}a_{k}x_{0}^{k-n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x_{0}^{k}=\sum _{k'=n}^{0}a_{n-k'}x_{0}^{n-k'}=f(x_{0})}$,

wobei ${\displaystyle k'=n-k}$. Mit der Voraussetzung ${\displaystyle f(x_{0})=0}$ sowie ${\displaystyle x_{0}^{n}\neq 0}$ folgt die Behauptung.

Nach Lills Methode oder der Variante seien zum Argument ${\displaystyle x=x_{a}}$ des Polynoms ${\displaystyle f(x)}$ im Kopftext des ersten bzw. zweiten Polynomzuges mit den Punkten ${\displaystyle O,A_{0},\ldots ,A_{n}}$ bzw. ${\displaystyle O=B_{0}\ldots ,B_{n}}$ konstruiert. Eine Polynomdivision liefere

${\displaystyle {\frac {f(x)}{x-x_{a}}}=h(x)+{\frac {r}{x-x_{a}}}}$,

wobei ${\displaystyle h(x)}$ ein Polynom ${\displaystyle (n-1)}$-ter Ordnung ist.

(i) Dann ist für ${\displaystyle h(x)}$ der Betrag des Koeffizienten bei ${\displaystyle x^{n-1-k}}$ die Streckenlänge ${\displaystyle |B_{k}A_{k}|}$ für ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$. Weiter ist ${\displaystyle |r|=|B_{n}A_{n}|}$.

(ii) Der Koeffizient ist genau dann negativ, wenn die Richtung des Pfeils von ${\displaystyle B_{k}}$ nach ${\displaystyle A_{k}}$ der im ersten Polygonzug vom Viererzyklus definierten Richtung entgegengesetzt ist (s. o. Konstruktion); mit ${\displaystyle k=n}$ entsprechend für ${\displaystyle r}$.

Die Behauptungen finden sich im Mathologer video (nach 22 min 11 s endende Passage, siehe Weblink hierzu).

Beispiel: Für die Nullstelle ${\displaystyle x_{a}={\tfrac {-1}{\sqrt {2}}}}$ des Polynoms ${\displaystyle f(x)=4x^{3}+2x^{2}-2x-1}$ (siehe obige Zeichnung, roter zweiter Polygonzug) hat ${\displaystyle h(x)}$ einen negativen Koeffizienten für ${\displaystyle k=1}$, denn der Pfeil von ${\displaystyle B_{1}}$ nach ${\displaystyle A_{1}}$ weist nach unten, vom Viererzyklus der Richtungen ist aber „nach oben“ vorgegeben, ebenso auch für ${\displaystyle k=2}$, denn der Pfeil von ${\displaystyle B_{2}}$ nach ${\displaystyle A_{2}}$ weist nach rechts, vom Viererzyklus ist aber „nach links“ vorgegeben. Damit lassen sich die Koeffizienten von

${\displaystyle (4x^{3}+2x^{2}-2x-1):(x+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}})\quad =\quad h(x)\quad =\quad 4x^{2}+2(1-{\sqrt {2}})x-{\sqrt {2}}\quad \approx \quad +4x^{2}-0{,}82x-1{,}41}$

näherungsweise aus der Zeichnung ablesen. Da ${\displaystyle x_{a}}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle f(x)}$ ist, ist ${\displaystyle B_{3}=A_{3}}$ und also ${\displaystyle |B_{3}A_{3}|=0=r}$.

(a) Im Hauptbeweis, II. sind Hilfsfunktionen ${\displaystyle g_{k}(x)}$ eingeführt, deren Definition der Berechnung von Funktionswerten nach Horner-Schema entlehnt ist. Diese Hilfsfunktionen lassen sich auch zur Polynomdivision nach Horner-Schema verwenden:

Die Werte ${\displaystyle g_{k}(x_{a})}$ je einer Hilfsfunktion an der Stelle ${\displaystyle x=x_{a}}$ seien Koeffizienten eines Polynoms

${\displaystyle h(x)=\sum _{k=0}^{n-1}g_{k}(x_{a})\,x^{n-1-k}}$

der Ordnung ${\displaystyle n-1}$. Wird dieses mit dem Linearfaktor ${\displaystyle x-x_{a}}$ multipliziert, so entsteht ein Polynom der Ordnung ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle (x-x_{a})\cdot h(x)=\sum _{k=0}^{n-1}g_{k}(x_{a})\,x^{n-k}+\sum _{k=1}^{n}-x_{a}\,g_{k-1}(x_{a})\,x^{n-k}=}$

${\displaystyle g_{0}(x_{a})\,x^{n}+{\bigg (}\sum _{k=1}^{n-1}(g_{k}(x_{a})-x_{a}\,g_{k-1}(x_{a}))\,x^{n-k}{\bigg )}-x_{a}\,g_{n}(x_{a})}$;

Nach der Definition der Hilfsfunktionen ist:

${\displaystyle g_{0}(x_{a})=a_{n}}$

${\displaystyle g_{k}(x_{a})=x_{a}\,g_{k-1}(x_{a})+a_{n-k}\;\Leftrightarrow \;g_{k}(x_{a})-x_{a}\,g_{k-1}(x_{a})=a_{n-k}}$ für ${\displaystyle k=1,\dots ,n-1}$

${\displaystyle g_{n}(x_{a})=x_{a}\,g_{n-1}(x_{a})+a_{0}\;\Leftrightarrow \;-x_{a}\,g_{n-1}(x_{a})=a_{0}-g_{n}(x_{a})}$

Einsetzen ergibt:

${\displaystyle (x-x_{a})\cdot h(x)=a_{n}\,x^{n}+{\bigg (}\sum _{k=1}^{n-1}a_{n-k}\,x^{n-k}{\bigg )}+a_{0}-g_{n}(x_{a})}$;

mit der Definition der Funktion ${\displaystyle f(x)}$ im Kopftext und ${\displaystyle g_{n}(x)=f(x)}$ folgt

${\displaystyle (x-x_{a})\cdot h(x)=f(x)-f(x_{a})\;\Leftrightarrow \;{\frac {f(x)}{x-x_{a}}}=h(x)+{\frac {f(x_{a})}{x-x_{a}}}}$;

Polynomdivision von ${\displaystyle f(x)}$ durch den Linearfaktor ${\displaystyle x-x_{a}}$ ergibt bis auf ein Restglied das Polynom ${\displaystyle h(x)}$ mit dem Koeffizienten ${\displaystyle g_{k}(x_{a})}$ bei der Potenz ${\displaystyle x^{n-1-k}}$, wobei ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$. Der Zähler des Restgliedes ist der Wert von ${\displaystyle g_{n}(x)=f(x)}$ an der Stelle ${\displaystyle x=x_{a}}$, weswegen das Restglied genau dann verschwindet, wenn ${\displaystyle x_{a}}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle f(x)}$ ist (s.a. hier).

(b) Das Polygonzugpaar sei wie im Hauptbeweis modelliert. Mit ${\displaystyle x=x_{a}}$ in III (c) ist

${\displaystyle B_{k}A_{k}=g_{k}(x_{a})\cdot D^{k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$;

Nach diesen Gleichungen ist ${\displaystyle |B_{k}A_{k}|=|g_{k}(x_{a})|}$ für ${\displaystyle k=0,\ldots ,n}$. Mit (a) folgt die Behauptung (i).

Weiter ist der Skalar ${\displaystyle g_{k}(x_{a})}$ genau dann negativ, wenn die Richtungen der Vektoren ${\displaystyle D^{k}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle B_{k}A_{k}}$ entgegengesetzt sind. Mit (a) folgt die Behauptung (ii).

Durch den Ersatz von ${\displaystyle D}$ durch die Drehung ${\displaystyle D^{-1}=-D}$ gehen die verwendeten Gleichungen in ihre Entsprechungen in einem Modell der Variante über, entsprechend der für ein linksdrehend erzeugtes Polygonzugpaar vorgelegte Beweis der Behauptungen (i) und (ii) in einen solchen für ein rechtsdrehend erzeugtes.

• Dan Kalman: Uncommon Mathematical Excursions: Polynomia and Related Realms. AMS, 2009, ISBN 978-0-88385-341-2, S. 13–22
• Rainer Kaenders (Hrsg.), Reinhard Schmidt (Hrsg.): Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen. Springer Spektrum, 2. Auflage, 2014, ISBN 978-3-658-04222-6, S. 71–75
• Thomas C. Hull: Solving Cubics With Creases: The Work of Beloch and Lill. American Mathematical Monthly, April 2011, S. 307–315 (Online-Kopie)
• Eduard Lill: Résolution graphique des équations numériques de tous les degrés à une seule inconnue, et description d’un instrument inventé dans ce but. Nouvelles Annales de mathématiques (2), Vol. 6, 1867, S. 359–362 (Online-Kopie)
• Eduard Lill: Résolution graphique des équations algébriques qui ont des racines imaginaires. Nouvelles Annales de mathématiques (2), Vol. 7, 1868, pp. 363–367 (Online-Kopie)

• Animation for Lill's Method
• Mathologer video: "Solving equations by shooting turtles with lasers"

1. ↑ Die Gleichheit eines weiteren (dort grün markierten) Winkels außer dem rechten in den hier betrachteten Dreiecken ist in Mathologer video behauptet (nach 18 min 20 s endende Passage, siehe Weblink hierzu).