Panjer-Algorithmus

Die Panjer-Rekursion (oder auch Panjer-Algorithmus) ist ein Algorithmus um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable

${\displaystyle S:=\sum _{i=1}^{N}X_{i}:=\sum _{n=0}^{\infty }\chi _{\{\omega \in \Omega |N(\omega )=n\}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

zu berechnen. Dabei sind ${\displaystyle N}$ und ${\displaystyle X_{i}}$ Zufallsvariablen, welche ein kollektives Modell bilden, und ${\displaystyle \chi }$ bezeichnet die Indikatorfunktion.

Der Algorithmus wurde in einer Publikation von Harry Panjer erstmals veröffentlicht.^[1] Er wird im Versicherungswesen häufig benutzt.

Wir sind an der speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable ${\displaystyle \textstyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$ interessiert, wobei ${\displaystyle N}$ und ${\displaystyle X_{i}}$ die folgenden Vorbedingungen erfüllen müssen:

${\displaystyle N}$ ist eine „Schadenanzahlverteilung“, d. h. ${\displaystyle N\in \mathbb {N} _{0}}$. ${\displaystyle N}$ ist unabhängig von ${\displaystyle X_{i}}$.

Weiterhin muss ${\displaystyle N}$ ein Element der Panjer-Klasse sein. Die Panjer-Klasse besteht aus allen Zufallsvariablen mit Werten in ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$, welche die folgende Relation erfüllen:

${\displaystyle p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1}}$ mit ${\displaystyle ~~k\geq 1}$ und für ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ mit ${\displaystyle a+b\geq 0}$.

Der Wert ${\displaystyle p_{0}}$ wird so bestimmt, dass ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1}$ erfüllt ist.

Sundt bewies im Paper^[2], dass nur die Binomialverteilung, die Poisson-Verteilung und die Negative Binomialverteilung in der Panjer-Klasse liegen. Sie haben die Parameter und Werte wie in der folgenden Tabelle beschrieben, wobei ${\displaystyle W_{N}(x)}$ die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bezeichnet.

Verteilung	${\displaystyle P[N=k]}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle p_{0}}$	${\displaystyle W_{N}(x)}$	${\displaystyle E[N]}$	${\displaystyle Var(N)}$
Binomial	${\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$	${\displaystyle {\frac {p}{p-1}}}$	${\displaystyle {\frac {p(n+1)}{1-p}}}$	${\displaystyle (1-p)^{n}}$	${\displaystyle (px+(1-p))^{n}}$	${\displaystyle np}$	${\displaystyle np(1-p)}$
Poisson	${\displaystyle e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle e^{-\lambda }}$	${\displaystyle e^{\lambda (x-1)}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \lambda }$
Negative Binomial	${\displaystyle {\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}}$	${\displaystyle 1-p}$	${\displaystyle (1-p)(r-1)}$	${\displaystyle p^{r}}$	${\displaystyle \left({\frac {p}{1-x(1-p)}}\right)^{r}}$	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p}}}$	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}$

Wir nehmen an, dass ${\displaystyle X_{i}}$ identisch verteilte unabhängige Zufallsvariablen sind, welche unabhängig von ${\displaystyle N}$ sind. Weiterhin muss ${\displaystyle X_{i}}$ auf einem Gitter ${\displaystyle h\mathbb {N} _{0}}$ mit Gitterlänge ${\displaystyle h>0}$ verteilt sein.

${\displaystyle f_{k}=P[X_{i}=hk].}$

Der Algorithmus verwendet eine Rekursion, um die Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle g_{k}=P[S=hk]}$ zu berechnen.

Der Startwert ist: ${\displaystyle g_{0}=W_{N}(f_{0})}$

mit den Spezialfällen

${\displaystyle g_{0}=p_{0}\cdot \exp(f_{0}b){\text{ für }}a=0,}$

und

${\displaystyle g_{0}={\frac {p_{0}}{(1-f_{0}a)^{1+b/a}}}{\text{ für }}a\neq 0.}$

Die nachfolgenden Werte können folgendermaßen berechnet werden:

${\displaystyle g_{k}=P[S=hk]={\frac {1}{1-f_{0}a}}\sum _{j=1}^{k}\left(a+{\frac {b\cdot j}{k}}\right)\cdot f_{j}\cdot g_{k-j}.}$

Abbildung 1 zeigt die approximierte Dichtefunktion von ${\displaystyle \textstyle S\,=\,\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$ wobei ${\displaystyle \textstyle N\,\sim \,\operatorname {NegBin} (3{,}5;0{,}3)}$ und ${\displaystyle \textstyle X\,\sim \,\operatorname {Frechet} (1{,}7;1)}$. Die Einzelschadenverteilung wurde mit einer Gitterbreite ${\displaystyle h=0{,}04}$ diskretisiert (siehe auch Fréchet-Verteilung).

• Panjer-Verteilung
• Blackwell-Girshick-Gleichung

• Schmidt, Klaus D.: Versicherungsmathematik, Springer Dordrecht Heidelberg London New York 2009, ISBN 978-3-642-01175-7.

1. ↑ Harry H. Panjer: Recursive evaluation of a family of compound distributions. In: ASTIN Bulletin. 12. Jahrgang, Nr. 1, 1981, S. 22–26, doi:10.1017/S0515036100006796 (casact.org [PDF]). 
2. ↑ B. Sundt and W. S. Jewell: Further results on recursive evaluation of compound distributions. In: ASTIN Bulletin. 12. Jahrgang, Nr. 1, 1981, S. 27–39, doi:10.1017/S0515036100006802 (casact.org [PDF]).