Projektive Basis

Eine projektive Basis ist in der Mathematik eine Menge von ${\displaystyle n+2}$ Punkten eines ${\displaystyle n}$-dimensionalen projektiven Raums, von denen je ${\displaystyle n+1}$ projektiv unabhängig sind. Projektive Basen werden in der projektiven Geometrie zur Charakterisierung von Projektivitäten und zur Definition projektiver Koordinaten verwendet.

Ein ${\displaystyle (n+1)}$-Tupel ${\displaystyle (P_{0},\ldots P_{n})}$ von Punkten eines projektiven Raums ${\displaystyle P(V)}$ über einem ${\displaystyle K}$-Vektorraum ${\displaystyle V}$ heißt projektiv unabhängig, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft:

• Es gibt linear unabhängige Vektoren ${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{n}\in V}$ mit ${\displaystyle P_{i}=K\,v_{i}}$ für ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$.
• Jedes ${\displaystyle (n+1)}$-Tupel ${\displaystyle (v_{0},\ldots ,v_{n})}$ von Vektoren aus ${\displaystyle V}$ mit ${\displaystyle P_{i}=K\,v_{i}}$ für ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$ ist linear unabhängig.
• Für die Dimension des Verbindungsraums der Punkte gilt ${\displaystyle \dim(P_{0}\vee P_{1}\vee \ldots \vee P_{n})=n}$.

Ein ${\displaystyle (n+2)}$-Tupel ${\displaystyle (P_{0},\ldots P_{n+1})}$ von Punkten eines projektiven Raums heißt projektive Basis des Raums, wenn je ${\displaystyle n+1}$ Punkte projektiv unabhängig sind. Es gilt dann ${\displaystyle \dim P(V)=n}$.^[1]

• ${\displaystyle n=1}$: drei Punkte auf einer projektiven Geraden bilden genau dann eine projektive Basis, wenn sie paarweise verschieden sind.
• ${\displaystyle n=2}$: vier Punkte auf einer projektiven Ebene bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine drei davon auf einer Geraden liegen. Die vier Punkte bestimmen also ein vollständiges Viereck.
• ${\displaystyle n=3}$: fünf Punkte in einem dreidimensionalen projektiven Raum bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine vier davon in einer Ebene liegen.

Die projektive Standardbasis ${\displaystyle (E_{0},\ldots ,E_{n+1})}$ im projektiven Standardraum ${\displaystyle KP^{n}}$ besteht aus den von den Standard-Basisvektoren ${\displaystyle e_{0},\ldots ,e_{n}}$ des Koordinatenraums ${\displaystyle K^{n+1}}$ erzeugten Punkten

${\displaystyle E_{i}=K\,e_{i},~i=0,\ldots ,n}$,

zusammen mit dem Einheitspunkt

${\displaystyle E_{n+1}=K\,\left(e_{0}+\ldots +e_{n}\right)}$.^[2]

In homogenen Koordinaten ergeben sich beispielsweise folgende projektiven Standardbasen:

• In der projektiven Gerade ${\displaystyle KP^{1}}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ bilden die ${\displaystyle 3}$ Punkte ${\displaystyle \left[1:0\right],\left[0:1\right]}$ und ${\displaystyle \left[1:1\right]}$ die projektive Standardbasis.
• In der projektiven Ebene ${\displaystyle KP^{2}}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ bilden die ${\displaystyle 4}$ Punkte ${\displaystyle \left[1:0:0\right],\left[0:1:0\right],\left[0:0:1\right]}$ und ${\displaystyle \left[1:1:1\right]}$ die projektive Standardbasis.

${\displaystyle \ldots }$

• Im ${\displaystyle n}$-dimensionalen projektiven Raum ${\displaystyle KP^{n}}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ bilden die ${\displaystyle n+2}$ Punkte ${\displaystyle \left[1:0:\ldots :0\right],\left[0:1:\ldots :0\right],\ldots ,\left[0:0:\ldots :1\right]}$ und ${\displaystyle \left[1:1:\ldots :1\right]}$ die projektive Standardbasis.

Ist ${\displaystyle (P_{0},\ldots ,P_{n+1})}$ eine beliebige projektive Basis eines projektiven Raums ${\displaystyle P(V)}$, dann gibt es eine Basis ${\displaystyle (v_{0},\ldots ,v_{n})}$ von ${\displaystyle V}$, sodass

${\displaystyle P_{0}=K\,v_{0},\ldots ,P_{n}=K\,v_{n}~{\text{und}}~P_{n+1}=K\,\left(v_{0}+\ldots +v_{n}\right)}$

gilt.^[2] Sind nun ${\displaystyle P(V)}$ und ${\displaystyle P(W)}$ zwei projektive Räume gleicher Dimension mit projektiven Basen ${\displaystyle (P_{0},\ldots ,P_{n+1})}$ und ${\displaystyle (Q_{0},\ldots ,Q_{n+1})}$, dann gibt es genau eine projektive Abbildung ${\displaystyle f\colon P(V)\to P(W)}$, sodass

${\displaystyle f(P_{i})=Q_{i}}$

für ${\displaystyle i=0,\ldots ,n+1}$ gilt.^[2] Demnach ist eine projektive Abbildung zwischen projektiven Räumen gleicher Dimension durch Angabe der Bilder der projektiven Basispunkte eindeutig charakterisiert. Solche Abbildungen lassen sich daher durch Matrizen der Größe ${\displaystyle (n+1)\times (n+1)}$ beschreiben. Weiter lassen sich in einem projektiven Raum ${\displaystyle P(V)}$ mit der projektiven Basis ${\displaystyle (P_{0},\ldots ,P_{n+1})}$ mit Hilfe der projektiven Abbildung

${\displaystyle KP^{n}\to P(V),E_{i}\mapsto P_{i}~{\text{für}}~i=0,\ldots ,n+1}$

homogene projektive Koordinaten definieren.^[3]

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-96417-5, S. 142. 

1. ↑ Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, S. 142. 
2. ↑ ^{a b c} Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, S. 143. 
3. ↑ Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, S. 144.