Quadratsummen-Funktion

Die Quadratsummen-Funktion (engl. sum of squares function) ${\displaystyle r_{k}(n)}$ ist eine zahlentheoretische Funktion, die angibt, auf wie viele Arten eine gegebene natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ als Summe von ${\displaystyle k}$ Quadraten ganzer Zahlen dargestellt werden kann, wobei alle Vertauschungen und Vorzeichenkombinationen mitgezählt werden.

Die Funktion ist für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{\geq 0}}$ und ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{\geq 1}}$ definiert als^[1]

${\displaystyle r_{k}(n):=\sum _{\begin{array}{c}a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}=n\\(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\end{array}}1={\Bigl |}\left\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\mid a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}=n\right\}{\Bigr |},}$

d. h. als Anzahl der Darstellungsmöglichkeiten von ${\displaystyle n}$ als Summe von ${\displaystyle k}$ Quadraten ganzer Zahlen mit ${\displaystyle k\geq 1}$ (für ${\displaystyle r_{2}}$ wird oft nur ${\displaystyle r}$ geschrieben). Beispielsweise gilt

${\displaystyle r_{k}(0)=1}$

für alle ${\displaystyle k}$. Es ist

${\displaystyle r_{2}(1)=4}$,

da ${\displaystyle 1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}}$ mit jeweils 2 Vorzeichenkombinationen gilt, und auch

${\displaystyle r_{2}(2)=4}$

wegen ${\displaystyle 2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}}$ mit 4 Vorzeichenkombinationen. Andererseits ist

${\displaystyle r_{2}(3)=0}$,

weil es keine Darstellung der Zahl 3 als Summe von 2 Quadraten gibt.

Aus der Definition folgt sofort die Beziehung

${\displaystyle r_{k+m}(n)=\sum _{t=0}^{n}r_{k}(t)\ r_{m}(n-t),}$

aus der sich eine Rekursionsformel zur effizienten Berechnung ableiten lässt:

${\displaystyle r_{k+1}(n)=r_{k}(n)+2\sum _{t=1}^{\sqrt {n}}r_{k}(n-t^{2})}$

Es sei^[2]

${\displaystyle R_{k}(x):=\sum _{n=0}^{x}r_{k}(n)=\sum _{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dotsb +a_{k}^{2}\leq x}1}$.

Das ist anschaulich die Anzahl der (ganzzahligen) Gitterpunkte in einer ${\displaystyle k}$-dimensionalen Kugel mit dem Radius ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ und darum näherungsweise gleich dem Kugelvolumen. Genauer lässt sich rekursiv ableiten

${\displaystyle R_{k}(x)=V_{k}x^{\frac {k}{2}}+O(x^{\frac {k-1}{2}})}$,

wobei ${\displaystyle O(.)}$ das Landau-Symbol ist und die Konstanten ${\displaystyle V_{k}}$ die Volumina der ${\displaystyle k}$-dimensionalen Einheitskugeln sind:

${\displaystyle V_{2}=\pi ,\;V_{3}={\frac {4}{3}}\pi ,\;V_{4}={\frac {1}{2}}\pi ^{2},\;\dots }$

Die durchschnittliche Größenordnung von ${\displaystyle r_{k}(n)}$ ist damit ${\displaystyle {\tfrac {k}{2}}V_{k}x^{{\tfrac {k}{2}}-1}}$, also z. B. ${\displaystyle \pi }$ die von ${\displaystyle r_{2}(x)}$.

Die erzeugende Funktion erhält man als Potenz der Jacobischen Thetafunktion ${\displaystyle \vartheta (z,q)}$ für den Spezialfall ${\displaystyle z=0}$. Dafür gilt^[3]

${\displaystyle \vartheta _{3}(q):=\vartheta (0,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\dotsb }$

Man erhält daraus

${\displaystyle (\vartheta _{3}(q))^{k}=\sum _{n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k}}q^{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\dotsb +n_{k}^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}\sum _{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\dotsb +n_{k}^{2}=n}1=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}\ r_{k}(n)}$.

Einige spezielle Formeln sind z. B. (für ${\displaystyle n>0}$):

Für ${\displaystyle k=2}$ gilt:

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}}(-1)^{(d-1)/2}=4\sum _{d\mid n}\sin \left(d{\frac {\pi }{2}}\right)}$

Mit Hilfe der Primfaktorzerlegung ${\displaystyle n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots }$, wobei ${\displaystyle p_{i}}$ die Primfaktoren der Form ${\displaystyle p_{i}\equiv 1{\pmod {4}}}$ und ${\displaystyle q_{i}}$ die Primfaktoren der Form ${\displaystyle q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}}$ sind, ergibt sich als weitere Formel

${\displaystyle r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots }$,

wenn alle Exponenten ${\displaystyle h_{1},h_{2},\dotsc }$ gerade sind. Ist mindestens ein ${\displaystyle h_{i}}$ ungerade, dann ist ${\displaystyle r_{2}(n)=0}$. Nach Definition ist ${\displaystyle r_{2}(n)}$ auch die Anzahl der Gaußschen Zahlen mit der Norm ${\displaystyle n}$.

Für ${\displaystyle k=3}$ bewies Gauß für quadratfreie Zahlen ${\displaystyle n>4}$ die Formel

${\displaystyle r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{wenn }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{wenn }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{sonst}},\end{cases}}}$

wobei ${\displaystyle h(m)}$ die Klassenzahl einer ganzen Zahl ${\displaystyle m}$ bezeichnet.

Für beliebige ${\displaystyle n>0}$ gilt nach dem Drei-Quadrate-Satz ${\displaystyle r_{3}(n)=0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle n}$ sich in der Form ${\displaystyle n=4^{a}(8b+7),a\geq 0,b\geq 0}$ darstellen lässt.^[4]

Die Formel für ${\displaystyle k=4}$ stammt von Carl Gustav Jacob Jacobi und liefert ${\displaystyle r_{4}(n)}$ als achtfache Summe aller Teiler von ${\displaystyle n,}$ die nicht durch 4 teilbar sind (Satz von Jacobi):

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{d\mid n;\ 4\nmid d}d}$

Für alle Primzahlen ${\displaystyle p}$ gilt damit speziell

${\displaystyle r_{4}(p)=8(p+1)}$

und für alle Zweierpotenzen

${\displaystyle r_{4}(2^{k})=24,\;k\geq 1}$.

${\displaystyle r_{4}(n)}$ ist auch die Anzahl aller Lipschitz-Quaternionen mit der Norm ${\displaystyle n}$.

Für die Anzahl der Darstellungen von ${\displaystyle n}$ durch ${\displaystyle 2s}$ Quadrate für ${\displaystyle s\geq 3}$ gibt es ganz analoge Formeln. So ist z. B.

${\displaystyle r_{6}(n)=16\sum _{d\mid n}\chi ({\tfrac {n}{d}})d^{2}-4\sum _{d\mid n}\chi (d)d^{2}=4\sum _{d\mid n}[4\chi ({\tfrac {n}{d}})-\chi (d)]d^{2}}$,

wobei ${\displaystyle \chi (d)=+1,-1,0}$ ist, je nachdem ${\displaystyle d}$ von der Form ${\displaystyle 4k+1,4k-1,2k}$ ist.^[5]

Jacobi fand auch eine explizite Formel für ${\displaystyle k=8}$:

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sum _{d\mid n}(-1)^{n+d}d^{3}}$

Der Limes

${\displaystyle K:=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {r_{2}(k)}{k}}-\pi \log n\right)}$

existiert und wird (nach Wacław Sierpiński) als Sierpiński-Konstante bezeichnet. Diese lässt sich durch die Kreiszahl, die Euler-Mascheroni-Konstante und die Gammafunktion ausdrücken:

${\displaystyle K=\pi (2\gamma +4\log \Gamma ({\tfrac {3}{4}})-\log \pi )}$

• Hurwitzquaternion
• Zwei-Quadrate-Satz, Drei-Quadrate-Satz, Vier-Quadrate-Satz
• Zahlentheoretische Funktion

• Eric W. Weisstein: Sum of Squares Function. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 165. 
2. ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 197. 
3. ↑ Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie. R. Oldenbourg, München 1958, S. 294, 353. 
4. ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 162. 
5. ↑ Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie. R. Oldenbourg, München 1958, S. 357.