Rational elliptische Funktionen

Die rational elliptischen Funktionen stellen in der Mathematik eine Reihe von rationalen Funktionen mit reellen Faktoren dar. Sie werden zum Entwurf von Übertragungsfunktionen bei Cauer-Filtern in der elektronischen Signalverarbeitung verwendet.

Eine bestimmte rational elliptische Funktion wird durch ihre Ordnung ${\displaystyle n}$ und einen reellen Selektivfaktor ${\displaystyle \xi \geq 1}$ charakterisiert. Formal sind die rational elliptischen Funktionen mit dem Parameter ${\displaystyle x}$ definiert als:

${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)\equiv \mathrm {cd} \left(n{\frac {K(1/L_{n})}{K(1/\xi )}}\,\mathrm {cd} ^{-1}(x,1/\xi ),1/L_{n}\right)}$,

wobei die Funktion ${\displaystyle \operatorname {cd} (\cdot )}$ eine abgeleitete jacobische elliptische Funktion darstellt, bestehend aus den cosinus amplitudinis und den delta amplitudinis. ${\displaystyle K(\cdot )}$ steht für das elliptische Integral erster Art und ${\displaystyle L_{n}(\xi )=R_{n}(\xi ,\xi )}$ stellt einen Diskriminierungsfaktor dar, welcher für ${\displaystyle |x|\geq \xi }$ gleich dem kleinsten Betragswert von ${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)}$ ist.

Für Ordnungen in der Form ${\displaystyle n=2^{a}3^{b}}$, mit ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ nichtnegativ ganzzahlig, können die rational elliptischen Funktionen durch analytische Funktionen ausgedrückt werden.

Für gerade Ordnung ${\displaystyle n}$ können die rational elliptischen Funktionen in diesen Fällen als Quotient zweier Polynome, beide mit Ordnung ${\displaystyle n}$, ausgedrückt werden als:

${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,{\frac {\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}{\prod _{i=1}^{n}(x-x_{pi})}}}$      (${\displaystyle n}$ gerade)

mit den Nullstellen ${\displaystyle x_{i}}$ und den Polstellen ${\displaystyle x_{pi}}$. Der Faktor ${\displaystyle r_{0}}$ wird so gewählt, dass ${\displaystyle R_{n}(\xi ,1)=1}$ gilt.

Für ungerade Ordnung ergeben sich ein Pol bei ${\displaystyle x=\infty }$ und eine Nullstelle bei ${\displaystyle x=0}$, womit rational elliptische Funktionen bei ungerader Ordnung in der Form

${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,x\,{\frac {\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{i})}{\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{pi})}}}$      (${\displaystyle n}$ ungerade)

ausgedrückt werden können.

Damit lassen sich die ersten Ordnungen der rational elliptischen Funktionen formulieren:

${\displaystyle R_{1}(\xi ,x)=x}$

${\displaystyle R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}}$, mit ${\displaystyle t\equiv {\sqrt {1-{\frac {1}{\xi ^{2}}}}}}$.

${\displaystyle R_{3}(\xi ,x)=x\,{\frac {(1-x_{p}^{2})(x^{2}-x_{z}^{2})}{(1-x_{z}^{2})(x^{2}-x_{p}^{2})}}}$, mit ${\displaystyle G\equiv {\sqrt {4\xi ^{2}+(4\xi ^{2}(\xi ^{2}\!-\!1))^{2/3}}}}$, ${\displaystyle x_{p}^{2}\equiv {\frac {2\xi ^{2}{\sqrt {G}}}{{\sqrt {8\xi ^{2}(\xi ^{2}\!+\!1)+12G\xi ^{2}-G^{3}}}-{\sqrt {G^{3}}}}}}$, ${\displaystyle x_{z}^{2}=\xi ^{2}/x_{p}^{2}}$

Weitere Ordnungen lassen sich dann mittels niedriger Ordnungen mittels der Verschachtelungseigenschaft bilden:

${\displaystyle R_{4}(\xi ,x)=R_{2}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))={\frac {(1+t)(1+{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1+{\sqrt {t}})x^{2}+1}{(1+t)(1-{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1-{\sqrt {t}})x^{2}+1}}}$

${\displaystyle R_{5}(\xi ,x)}$, keine rationale Funktion.

${\displaystyle R_{6}(\xi ,x)=R_{3}{\bigl (}R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x){\bigr )}}$

Alle rational elliptischen Funktionen sind bei ${\displaystyle x=1}$ auf ${\displaystyle 1}$ normiert:

${\displaystyle R_{n}(\xi ,1)=1}$.

Bei der Eigenschaft der Verschachtelung gilt:

${\displaystyle R_{m}(R_{n}(\xi ,\xi ),R_{n}(\xi ,x))=R_{m\cdot n}(\xi ,x)}$.

Aus der Eigenschaft zur Verschachtelung folgt unmittelbar die obige Regel zur Angabe von bestimmten Ordnungen als rationale Funktion, da sich ${\displaystyle R_{2}}$ und ${\displaystyle R_{3}}$ als geschlossener analytischer Ausdruck angeben lassen. Damit lassen sich alle Ordnungen ${\displaystyle n=2^{a}3^{b}}$ in Form von analytischen Funktionen angeben.

Die Grenzwerte der rational elliptischen Funktionen für ${\displaystyle \xi \to \infty }$ lassen sich als Tschebyschow-Polynome erster Art ${\displaystyle T_{n}}$ ausdrücken:

${\displaystyle \lim _{\xi =\rightarrow \,\infty }R_{n}(\xi ,x)=T_{n}(x)}$.

Es gilt allgemein:

${\displaystyle R_{n}(\xi ,-x)=R_{n}(\xi ,x)}$ für gerade ${\displaystyle n}$,

${\displaystyle R_{n}(\xi ,-x)=-R_{n}(\xi ,x)\,}$ für ungerades ${\displaystyle n}$.

${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)}$ hat eine einheitliche Welligkeit von ${\displaystyle \pm 1}$ im Intervall ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$.

Es gilt allgemein

${\displaystyle R_{n}(\xi ,\xi /x)={\frac {R_{n}(\xi ,\xi )}{R_{n}(\xi ,x)}}}$.

Dies bedeutet, dass die Pole und Nullstellen paarweise auftreten müssen und der Beziehung

${\displaystyle x_{pi}x_{zi}=\xi \,}$

genügen müssen. Ungerade Ordnungen weisen somit eine Nullstelle bei ${\displaystyle x=0}$ und eine Polstelle bei Unendlich auf.

• Elliptic rational functions auf MathWorld (engl.)

• Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. 2. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-49324-2.