Satz von Schinzel

Der Satz von Schinzel gehört zur geometrischen Zahlentheorie und lautet wie folgt:

n

gibt es einen Kreis in der Ebene, der durch genau

n

Gitterpunkte mit ganzzahligen Koordinaten verläuft. Diese Kreise haben die folgende Koordinatengleichung:

\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{4}}\cdot 5^{k-1}\quad

für gerade

n

mit

n=2k

\left(x-{\frac {1}{3}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{9}}\cdot 5^{2k}\quad

für ungerade

n

mit

n=2k+1

Die so erhaltenen Kreise nennt man Schinzel-Kreise (auf Englisch Schinzel Circle).

Dieser Satz wurde vom polnischen Mathematiker Andrzej Schinzel im Jahr 1958 bewiesen.^[1]

Beweis

Schinzel bewies diesen Satz wie folgt:^[1]^[2]

Sei $n$ eine gerade Zahl, also $n=2k$ . Dann hat der Kreis, der durch genau $n$ Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht, die folgende Koordinatengleichung:

\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{4}}\cdot 5^{k-1}

Dieser Kreis hat den Mittelpunkt

M({\tfrac {1}{2}}/0)

und den Radius

r={\tfrac {1}{2}}\cdot {\sqrt {5^{k-1}}}

.

Wenn man obige Kreisgleichung mit 4 multipliziert, erhält man eine äquivalente Kreisgleichung:

(2x-1)^{2}+(2y)^{2}=5^{k-1}

Bei dieser Kreisgleichung wird

5^{k-1}

als Summe zweier Quadrate dargestellt, wobei

(2x-1)^{2}

als Quadrat einer ungeraden Zahl

2x-1

sicherlich ungerade und

(2y)^{2}

als Quadrat einer geraden Zahl

2y

sicherlich gerade ist. Es gibt genau

4k

Möglichkeiten,

5^{k-1}

als Summe zweier Quadrate darzustellen, wegen der Symmetrie ist die Hälfte davon in der Form ungerade–gerade.

Beispiele

Beispiel 1: (siehe auch Grafik rechts)

Sei

k=2

. Dann erhalten wir die folgenden

{\frac {4k}{2}}={\frac {8}{2}}=4

Möglichkeiten, die Zahl

5^{k-1}=5^{1}=5

in der Form ungerade–gerade darzustellen:

(\pm 1)^{2}+(\pm 2)^{2}=5^{1}

, also erhalten wir

2x-1=\pm 1

und

2y=\pm 2

. Formt man

2x-1=\pm 1

um, so erhält man

x_{1}=1,x_{2}=0

und formt man

2y=\pm 2

, so erhält man

y_{1}=1,y_{2}=-1

. Somit ergeben sich die vier Punkte

P_{1}(1/1),P_{2}(1/-1),P_{3}(0/1),P_{4}(0/-1)

, die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis mit

n=2k=4

geht.

Beispiel 2:

Sei

k=3

. Dann erhalten wir die folgenden

{\frac {4k}{2}}={\frac {12}{2}}=6

Möglichkeiten, die Zahl

5^{k-1}=5^{2}=25

in der Form ungerade–gerade darzustellen:

Fall 1:

(\pm 3)^{2}+(\pm 4)^{2}=25

, also erhalten wir

2x-1=\pm 3

und

2y=\pm 4

. Formt man

2x-1=\pm 3

um, so erhält man

x_{1}=2,x_{2}=-1

und formt man

2y=\pm 4

, so erhält man

y_{1}=2,y_{2}=-2

.

Somit ergeben sich die vier Punkte

P_{1}(2/2),P_{2}(2/-2),P_{3}(-1/2),P_{4}(-1/-2)

, die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.

Fall 2:

(\pm 5)^{2}+(\pm 0)^{2}=25

, also erhalten wir

2x-1=\pm 5

und

2y=0

. Formt man

2x-1=\pm 5

um, so erhält man

x_{1}=3,x_{2}=-2

und formt man

2y=0

, so erhält man

y_{1}=y_{2}=0

.

Somit ergeben sich die weiteren zwei Punkte

P_{5}(3/0),P_{6}(-2/0)

, die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.

Insgesamt erhält man somit die gesuchten 6 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, durch die der Schinzel-Kreis mit

n=2k=6

geht.

Sei $n$ eine ungerade Zahl, also $n=2k+1$ . Dann hat der Kreis, der durch genau $n$ Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht, die folgende Koordinatengleichung:

\left(x-{\frac {1}{3}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{9}}\cdot 5^{2k}

Dieser Kreis hat den Mittelpunkt

M({\tfrac {1}{3}}/0)

und den Radius

r={\tfrac {1}{3}}\cdot 5^{k}

.

Wenn man obige Kreisgleichung mit 9 multipliziert, erhält man eine äquivalente Kreisgleichung:

(3x-1)^{2}+(3y)^{2}=5^{2k}

Bei dieser Kreisgleichung wird

5^{2k}

als Summe zweier Quadrate dargestellt.

Beispiel

Beispiel:

Sei

k=2

. Dann erhalten wir die folgenden Möglichkeiten, die Zahl

5^{2k}=5^{4}=625

darzustellen:

Fall 1:

(\pm 7)^{2}+(\pm 24)^{2}=625

, also erhalten wir

3x-1=\pm 7

und

3y=\pm 24

. Formt man

3x-1=\pm 7

um, so erhält man

x_{1}={\frac {8}{3}},x_{2}=-2

und formt man

3y=\pm 24

, so erhält man

y_{1}=8,y_{2}=-8

.

Somit ergeben sich zwei Punkte

P_{1}(-2/8),P_{2}(-2/-8)

, die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.

Fall 2:

(\pm 24)^{2}+(\pm 7)^{2}=625

, also erhalten wir

3x-1=\pm 24

und

3y=\pm 7

. Formt man

3x-1=\pm 24

um, so erhält man

x_{1}={\frac {25}{3}},x_{2}=-{\frac {23}{3}}

und formt man

3y=\pm 7

, so erhält man

y_{1}={\frac {7}{3}},y_{2}=-{\frac {7}{3}}

.

Somit ergeben sich keine Punkte, die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.

Fall 3:

(\pm 15)^{2}+(\pm 20)^{2}=625

, also erhalten wir

3x-1=\pm 15

und

3y=\pm 20

. Formt man

3x-1=\pm 15

um, so erhält man

x_{1}={\frac {16}{3}},x_{2}=-{\frac {14}{3}}

und formt man

3y=\pm 20

, so erhält man

y_{1}={\frac {20}{3}},y_{2}=-{\frac {20}{3}}

.

Somit ergeben sich keine Punkte, die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.

Fall 4:

(\pm 20)^{2}+(\pm 15)^{2}=625

, also erhalten wir

3x-1=\pm 20

und

3y=\pm 15

. Formt man

3x-1=\pm 20

um, so erhält man

x_{1}=7,x_{2}=-{\frac {19}{3}}

und formt man

3y=\pm 15

, so erhält man

y_{1}=5,y_{2}=-5

.

Somit ergeben sich zwei Punkte

P_{3}(7/5),P_{4}(7/-5)

, die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.

Fall 5:

(\pm 25)^{2}+(\pm 0)^{2}=625

, also erhalten wir

3x-1=\pm 25

und

3y=0

. Formt man

3x-1=\pm 25

um, so erhält man

x_{1}={\frac {26}{3}},x_{2}=-8

und formt man

3y=0

, so erhält man

y_{1}=y_{2}=0

.

Somit ergibt sich nur ein weiterer Punkt

P_{5}(-8/0)

, der ganzzahlige Koordinaten hat und durch den der Schinzel-Kreis geht.

Fall 6:

(\pm 0)^{2}+(\pm 25)^{2}=625

, also erhalten wir

3x-1=0

und

3y=\pm 25

. Formt man

3x-1=0

um, so erhält man

x_{1}=x_{2}={\frac {1}{3}}

und man erhält sicherlich keine ganzzahligen Koordinaten.

Insgesamt erhält man somit die gesuchten 5 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten

(P_{1}(-2/8),P_{2}(-2/-8),P_{3}(7/5),P_{4}(7/-5),P_{5}(-8/0))

, durch die der Schinzel-Kreis mit

n=2k+1=5

geht.

Eigenschaften

Die Kreise, die Schinzel mit obiger Methode erzeugt hat, sind nicht unbedingt die kleinstmöglichen Kreise, die durch die gegebene Anzahl ganzzahliger Punkte verlaufen.^[3] Sie haben aber den Vorteil, dass sie durch eine explizite Formel beschrieben werden können.^[2]

Beispiel

Beispiel:

Sei $n=2\cdot 4+1=9$ . Dann ist $k=4$ und der Schinzel-Kreis hat die folgende Darstellung:

\left(x-{\frac {1}{3}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{9}}\cdot 5^{8}\quad

mit Mittelpunkt

M({\frac {1}{3}}/0)

und Radius

r={\frac {1}{3}}\cdot 5^{4}={\frac {625}{3}}\approx 208{,}33

Es ist

0^{2}+625^{2}=175^{2}+600^{2}=220^{2}+585^{2}=336^{2}+527^{2}=375^{3}+500^{2}=625^{2}

Mit obiger Methode erhält man die folgenden Punkte (mit ganzzahligen Koordinaten), durch die der Schinzel-Kreis mit

n=2\cdot 4+1=9

geht. Sie liegen bezüglich der x-Achse symmetrisch:

P_{1}(-208/0),P_{2}(-73/195),P_{3}(-73/-195),P_{4}(-58/200),P_{5}(-58/-200),P_{6}(167/125),P_{7}(167/-125),P_{8}(176/112),P_{9}(176/-112)

Es gibt aber einen kleineren Kreis, der durch 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht und denselben Mittelpunkt $M({\frac {1}{3}}/0)$ hat:^[3]

\left(x-{\frac {1}{3}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{9}}\cdot 65^{2}\quad

mit Mittelpunkt

M({\frac {1}{3}}/0)

und Radius

r={\frac {1}{3}}\cdot 65={\frac {65}{3}}\approx 21{,}67

Dieser Kreis geht durch die folgenden 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, die ebenfalls bezüglich der x-Achse symmetrisch liegen:

P_{1}(-17/13),P_{2}(-17/-13),P_{3}(-8/20),P_{4}(-8/-20),P_{5}(-5/21),P_{6}(-5/-21),P_{7}(19/11),P_{8}(19/-11),P_{9}(22/0)

Der tatsächlich kleinste Kreis aber, der durch 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht, ist der folgende:^[4]

\left(x-{\frac {1}{6}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {1}{6}}\right)^{2}={\frac {4225}{18}}\quad

mit Mittelpunkt

M({\frac {1}{6}}/{\frac {1}{6}})

und Radius

r={\sqrt {\frac {4225}{18}}}={\frac {65}{3\cdot {\sqrt {2}}}}={\frac {65}{6}}\cdot {\sqrt {2}}\approx 15{,}32

Dieser Kreis geht durch die folgenden 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, die nicht symmetrisch bezüglich der x-Achse sind:

P_{1}(-15/-2),P_{2}(-14/6),P_{3}(-13/8),P_{4}(-2/-15),P_{5}(4/15),P_{6}(6/-14),P_{7}(8/-13),P_{8}(11/11),P_{9}(15/4)

Vergleich Schinzel-Kreise – kleinstmögliche Kreise

Die folgende Tabelle gibt für $4\leq n\leq 12$ die mit obiger Formel berechneten Schinzelkreise an und vergleicht sie mit den tatsächlich kleinsten Kreisen, die durch $n$ Punkte mit ganzzahligen Koordinaten gehen:^[4]

n	k	Schinzel-Kreis		kleinstmöglicher Kreis
n	k	Mittelpunkt $M$	Radius $r$	Mittelpunkt $M$	Radius $r$
4	2	$M({\frac {1}{2}}/0)$	$r={\frac {\sqrt {5}}{2}}\approx 1{,}12$	$M({\frac {1}{2}}/{\frac {1}{2}})$	$r={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\approx 0{,}71$
5	2	$M({\frac {1}{3}}/0)$	$r={\frac {25}{3}}\approx 8{,}33$	$M({\frac {1}{6}}/{\frac {1}{6}})$	$r={\sqrt {\frac {625}{18}}}={\frac {25}{6}}\cdot {\sqrt {2}}\approx 5{,}89$
6	3	$M({\frac {1}{2}}/0)$	$r={\frac {\sqrt {25}}{2}}={\frac {5}{2}}=2{,}5$	$M({\frac {1}{2}}/0)$	$r={\frac {5}{2}}=2{,}5$
7	3	$M({\frac {1}{3}}/0)$	$r={\frac {125}{3}}\approx 41{,}67$	$M({\frac {9}{22}}/{\frac {5}{22}})$	$r={\sqrt {\frac {138125}{242}}}={\frac {25}{11}}\cdot {\sqrt {\frac {221}{2}}}\approx 23{,}89$
8	4	$M({\frac {1}{2}}/0)$	$r={\frac {\sqrt {125}}{2}}={\frac {5}{2}}\cdot {\sqrt {5}}\approx 5{,}59$	$M({\frac {1}{2}}/{\frac {1}{2}})$	$r={\sqrt {\frac {5}{2}}}={\frac {\sqrt {10}}{2}}\approx 1{,}58$
9	4	$M({\frac {1}{3}}/0)$	$r={\frac {625}{3}}\approx 208{,}33$	$M({\frac {1}{6}}/{\frac {1}{6}})$	$r={\sqrt {\frac {4225}{18}}}={\frac {65}{6}}\cdot {\sqrt {2}}\approx 15{,}32$
10	5	$M({\frac {1}{2}}/0)$	$r={\frac {\sqrt {625}}{2}}={\frac {25}{2}}=12{,}5$	$M({\frac {1}{2}}/0)$	$r={\frac {25}{2}}=12{,}5$
11	5	$M({\frac {1}{3}}/0)$	$r={\frac {3125}{3}}\approx 1041{,}67$	$M({\frac {5}{22}}/{\frac {3}{22}})$	$r={\sqrt {\frac {801125}{242}}}={\frac {5}{11}}\cdot {\sqrt {\frac {32045}{2}}}\approx 57{,}54$
12	6	$M({\frac {1}{2}}/0)$	$r={\frac {\sqrt {3125}}{2}}={\frac {25}{2}}\cdot {\sqrt {5}}=27{,}95$	$M({\frac {1}{2}}/{\frac {1}{2}})$	$r={\sqrt {\frac {25}{2}}}={\frac {5}{2}}\cdot {\sqrt {2}}\approx 3{,}54$

Wie man erkennen kann, ist für $n=6$ und $n=10$ der Schinzel-Kreis tatsächlich der kleinstmögliche Kreis. Für $n=9$ und $n=11$ ist der Schinzel-Kreis um ein Vielfaches größer als der kleinstmögliche Kreis mit $n$ Punkten mit ganzzahligen Koordinaten.

Weblinks

Eric W. Weisstein: Schinzel Circle. In: MathWorld (englisch).
Eric W. Weisstein: Schinzel's Theorem. In: MathWorld (englisch).
Eric W. Weisstein: Circle Lattice Points. In: MathWorld (englisch).
Ed Pegg Jr.: Lattice Circles, März 2011

Einzelnachweise

↑ ^a ^b Andrzej Schinzel: Sur l'existence d'un cercle passant par un nombre donné de points aux coordonnées entières. Enseign. Math. (2) 4, 1958, S. 71–72, abgerufen am 30. Mai 2024.
↑ ^a ^b Ross Honsberger: Mathematical Gems I: Dolciani Mathematical Expositions, vol. 1: Schinzel's theorem. Mathematical Association of America, 1973, S. 118–121, abgerufen am 30. Mai 2024.
↑ ^a ^b Eric W. Weisstein: Schinzel Circle. In: MathWorld (englisch).
↑ ^a ^b Ed Pegg Jr.: Lattice Circles, März 2011

[Schinzel-1] Andrzej Schinzel: Sur l'existence d'un cercle passant par un nombre donné de points aux coordonnées entières. Enseign. Math. (2) 4, 1958, S. 71–72, abgerufen am 30. Mai 2024.

[Ross-2] Ross Honsberger: Mathematical Gems I: Dolciani Mathematical Expositions, vol. 1: Schinzel's theorem. Mathematical Association of America, 1973, S. 118–121, abgerufen am 30. Mai 2024.

[MathWorld-3] Eric W. Weisstein: Schinzel Circle. In: MathWorld (englisch).

[Pegg-4] Ed Pegg Jr.: Lattice Circles, März 2011

[1]

[2]

[3]

[4]